Определенный интеграл $$\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{3x+1}}$$ равен ...

Решение:

Чтобы найти определённый интеграл, сначала найдём неопределённый интеграл. Для этого сделаем замену переменной:

1. Пусть \( u = 3x + 1 \). Тогда \( du = 3 dx \), то есть \( dx = \frac{1}{3} du \).
2. Подставим замену в интеграл: \[ \int \frac{dx}{\sqrt{3x+1}} = \int \frac{\frac{1}{3} du}{\sqrt{u}} = \frac{1}{3} \int u^{-\frac{1}{2}} du \]
3. Вычислим интеграл: \[ \frac{1}{3} \cdot \frac{u^{-\frac{1}{2} + 1}}{-\frac{1}{2} + 1} + C = \frac{1}{3} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = \frac{2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C \]
4. Вернёмся к исходной переменной \( x \), подставив \( u = 3x + 1 \): \[ \frac{2}{3} \sqrt{3x+1} + C \]
5. Теперь вычислим определённый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: \[ \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{3x+1}} = \left[ \frac{2}{3} \sqrt{3x+1} \right]_0^1 \]
6. Подставим верхний и нижний пределы интегрирования: \[ \frac{2}{3} \sqrt{3\cdot1+1} - \frac{2}{3} \sqrt{3\cdot0+1} = \frac{2}{3} \sqrt{4} - \frac{2}{3} \sqrt{1} = \frac{2}{3} \cdot 2 - \frac{2}{3} \cdot 1 \]
7. Вычислим результат: \[ \frac{4}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \]

Ответ: 2/3