Определенный интеграл \(\int_{0}^{1} xe^{x^2+1} dx\) равен ...

Решение:

Чтобы вычислить этот определенный интеграл, мы можем использовать метод замены переменной. Пусть \( u = x^2 + 1 \). Тогда дифференциал \( du \) будет равен \( du = 2x dx \), или \( x dx = \frac{1}{2} du \).

Теперь нам нужно изменить пределы интегрирования. Когда \( x = 0 \), \( u = 0^2 + 1 = 1 \). Когда \( x = 1 \), \( u = 1^2 + 1 = 2 \).

Подставляем замену в интеграл:

\( \int_{0}^{1} xe^{x^2+1} dx = \int_{1}^{2} e^u \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} e^u du \)

Интеграл от \( e^u \) равен \( e^u \). Теперь подставляем пределы интегрирования:

\( \frac{1}{2} [e^u]_{1}^{2} = \frac{1}{2} (e^2 - e^1) = \frac{1}{2} (e^2 - e) \)

Таким образом, определенный интеграл равен \( \frac{1}{2}(e^2 - e) \).

Ответ: \(\frac{1}{2}(e^2 - e)\).