Определи cost n sint, 8π 3 cos 8π 3 sin ( 8π 3

Привет! Смотри, для решения нам понадобятся знания тригонометрии. Разберемся вместе!

Начнем с косинуса:

\[\cos\left(-\frac{8\pi}{3}\right)\]

Преобразуем аргумент, чтобы привести его к более удобному виду. Поскольку период косинуса равен 2π, можем вычесть 2π несколько раз:

\[-\frac{8\pi}{3} = -\frac{8\pi}{3} + 2\pi = -\frac{8\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3}\]

Теперь у нас есть:

\[\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\]

Косинус - четная функция, поэтому \(\cos(-x) = \cos(x)\):

\[\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)\]

Угол \(\frac{2\pi}{3}\) находится во второй четверти, где косинус отрицателен. \(\frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3}\), поэтому:

\[\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}\]

Теперь синус:

\[\sin\left(-\frac{8\pi}{3}\right)\]

Аналогично косинусу, преобразуем аргумент синуса:

\[-\frac{8\pi}{3} = -\frac{8\pi}{3} + 2\pi = -\frac{8\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3}\]

Теперь у нас есть:

\[\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\]

Синус - нечетная функция, поэтому \(\sin(-x) = -\sin(x)\):

\[\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\]

Угол \(\frac{2\pi}{3}\) находится во второй четверти, где синус положителен. \(\frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3}\), поэтому:

\[\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Тогда:

\[-\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\]

Итак:

\[\cos\left(-\frac{8\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}\]

\[\sin\left(-\frac{8\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\]

Ответ:

\[\cos\left(-\frac{8\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}\]

\[\sin\left(-\frac{8\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\]