Разберем каждое из утверждений.
- Фёдор Иванович вошёл в историю как набожный монарх с мягким характером, который был не способен к самостоятельному управлению государством. - Верное утверждение.
- При Фёдоре Ивановиче в стране несколько лет был страшный голод, в результате чего погибло много людей, а государственная казна опустела. - Верное утверждение.
- Царь Фёдор Иванович не оставил после себя наследника, что стало одной из причин начала Смуты в России. - Верное утверждение.
- Борис Годунов был не только наставником и советником царя Фёдора Ивановича, но также и его родственником (родным братом супруги царя - царицы Ирины). - Неверное утверждение.
- Время правления Бориса Годунова было лёгким и успешным страна не знала проблем, кризисов и потрясений, в это время в России не было ни войн, ни бунтов. - Неверное утверждение.
- Ближайшими друзьями и соратниками Бориса Годунова в первые годы его правления были Богдан Бельский и братья Михаил и Василий Романовы. - Верное утверждение.
Таким образом, верные суждения: 1, 2, 3, 6.
Ответ: 1, 2, 3, 6.