Слово 'осеннем' является именем прилагательным, так как отвечает на вопрос 'каком?'. Оно описывает существительное 'лесу'.
В слове 'осеннем' пишется два 'н', потому что это прилагательное образовано от существительного 'осень' с помощью суффикса -н-, и к нему добавляется еще один суффикс -н-. Прилагательное с двумя 'н' в данном случае — 'осенний'.
В осеннем лесу было тихо.
Ответ: осеннем (прилагательное).