Определи корни уравнения: (4^x - 5 ∙ 2^x + 4) ∙ √(x - 1) = 0. (В ответе напиши корни в порядке возрастания.)

Решение:

Для решения уравнения (4x - 5 ∙ 2x + 4) ∙ √(x - 1) = 0, рассмотрим два случая, когда произведение равно нулю.

1. Первый случай: \( √(x - 1) = 0 \). Возведем обе части в квадрат: \( x - 1 = 0 \) → \( x = 1 \). Проверим условие, что под корнем должно быть неотрицательное число: \( 1 - 1 = 0 ≥ 0 \). Значит, \( x = 1 \) является корнем.
2. Второй случай: \( 4^x - 5 ∙ 2^x + 4 = 0 \). Заменим \( 4^x \) как \( (2^x)^2 \). Получим квадратное уравнение относительно \( 2^x \): \( (2^x)^2 - 5 ∙ 2^x + 4 = 0 \). Пусть \( y = 2^x \). Тогда уравнение примет вид: \( y^2 - 5y + 4 = 0 \).
3. Решим квадратное уравнение относительно \( y \): \( y^2 - 5y + 4 = 0 \). Найдем дискриминант: \( D = (-5)^2 - 4 ∙ 1 ∙ 4 = 25 - 16 = 9 \). Найдем корни: \( y_1 = \frac{-(-5) + √ 9}{2 ∙ 1} = \frac{5 + 3}{2} = 4 \) и \( y_2 = \frac{-(-5) - √ 9}{2 ∙ 1} = \frac{5 - 3}{2} = 1 \).
4. Теперь вернемся к замене \( y = 2^x \):
   • Для \( y_1 = 4 \): \( 2^x = 4 \) → \( 2^x = 2^2 \) → \( x = 2 \).
   • Для \( y_2 = 1 \): \( 2^x = 1 \) → \( 2^x = 2^0 \) → \( x = 0 \).
5. Проверим найденные корни \( x = 2 \) и \( x = 0 \) на допустимость в исходном уравнении. Для \( x = 2 \) и \( x = 0 \) выражение под корнем \( x - 1 \) будет \( 2 - 1 = 1 ≥ 0 \) и \( 0 - 1 = -1 \). Поскольку \( -1 < 0 \), то \( x = 0 \) не является корнем.
6. Итак, у нас есть два корня: \( x = 1 \) и \( x = 2 \).
7. Расположим корни в порядке возрастания: \( 1, 2 \).

Ответ: 1, 2.