Определи корни уравнения: \(4^x - 9 \cdot 2^x + 8\) \(\cdot\) \(\sqrt{x - 1}\) = 0.

Решение:

Данное уравнение представляет собой произведение двух множителей, равное нулю. Это означает, что хотя бы один из множителей должен быть равен нулю.

1. Рассмотрим первый множитель: \( 4^x - 9 \cdot 2^x + 8 = 0 \)

Сделаем замену переменной: пусть \( y = 2^x \). Тогда \( 4^x = (2^x)^2 = y^2 \).

Уравнение примет вид: \( y^2 - 9y + 8 = 0 \).

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• \( D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49 \)
• \( y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 7}{2} = \frac{16}{2} = 8 \)
• \( y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 7}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

Теперь вернёмся к замене \( y = 2^x \):

• \( 2^x = 8 \) → \( 2^x = 2^3 \) → \( x_1 = 3 \)
• \( 2^x = 1 \) → \( 2^x = 2^0 \) → \( x_2 = 0 \)
2. Рассмотрим второй множитель: \( \sqrt{x - 1} = 0 \)

Возведём обе части уравнения в квадрат:

• \( x - 1 = 0 \)
• \( x_3 = 1 \)
3. Проверим найденные корни на допустимость.

Для корня \( \sqrt{x-1} \) необходимо, чтобы \( x-1 \ge 0 \), то есть \( x \ge 1 \).

• Корень \( x_1 = 3 \) удовлетворяет условию \( x \ge 1 \).
• Корень \( x_2 = 0 \) НЕ удовлетворяет условию \( x \ge 1 \).
• Корень \( x_3 = 1 \) удовлетворяет условию \( x \ge 1 \).
4. Окончательно, корни уравнения: \( x = 3 \) и \( x = 1 \).
5. Запишем корни в порядке возрастания.

Ответ: 1; 3.