Определи по рисунку, какую теорему можно применить для решения треугольника: 1) AB = 7, BC = 9, AC = 8, найти угол A = x; 2) ∠A = 60°, ∠B = 45°, AC = 4, найти BC = x; 3) AB = 6, AC = 7, ∠A = 45°, найти BC = x.

1. Известны три стороны, поэтому для нахождения угла применяем теорему косинусов:

   \(\cos A=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{7^2+8^2-9^2}{2\cdot7\cdot8}=\frac{32}{112}=\frac{2}{7}.\)

   \(A=\arccos\frac{2}{7}\approx73.4^\circ.\)

2. Известны сторона и два угла. Третий угол:

   \(\angle C=180^\circ-60^\circ-45^\circ=75^\circ.\)

   По теореме синусов:

   \(\frac{x}{\sin60^\circ}=\frac{4}{\sin45^\circ},\quad x=\frac{4\sin60^\circ}{\sin45^\circ}=2\sqrt6.\)

3. Известны две стороны и угол между ними, поэтому применяем теорему косинусов:

   \(x^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos A=6^2+7^2-2\cdot6\cdot7\cdot\cos45^\circ=85-42\sqrt2.\)

   \(x=\sqrt{85-42\sqrt2}\approx4.95.\)

Ответ: 1) теорема косинусов; 2) теорема синусов; 3) теорема косинусов.