Определи, при каких значениях b прямая, заданная формулой у = b, и график функции y= 5|x-2|-x² + 5x — 6 будут иметь ровно три общие точки. Построй график функции и эту прямую, отметь точки пересечения и запиши значения, которые может принимать параметр b. (Укажи значения в порядке возрастания.)

Решение:

Рассмотрим функцию \( y = 5|x-2| - x^2 + 5x - 6 \). Сначала разберемся с модулем.

• При \( x \geq 2 \): \( y = 5(x-2) - x^2 + 5x - 6 = 5x - 10 - x^2 + 5x - 6 = -x^2 + 10x - 16 \)
• При \( x < 2 \): \( y = 5(2-x) - x^2 + 5x - 6 = 10 - 5x - x^2 + 5x - 6 = -x^2 + 4 \)

Теперь мы имеем две квадратичные функции, определенные на разных интервалах:

• \( y = -x^2 + 10x - 16 \) при \( x \geq 2 \)
• \( y = -x^2 + 4 \) при \( x < 2 \)

Найдем вершины этих парабол:

• Для \( y = -x^2 + 10x - 16 \): \( x_в = -\frac{10}{2(-1)} = 5 \), \( y_в = -(5)^2 + 10(5) - 16 = -25 + 50 - 16 = 9 \)
• Для \( y = -x^2 + 4 \): \( x_в = 0 \), \( y_в = 4 \)

Таким образом, координаты вершин парабол: (5, 9) и (0, 4).

Теперь рассмотрим значения параметра b, при которых прямая \( y = b \) имеет ровно три общие точки с графиком функции. Это возможно в двух случаях:

• Когда прямая проходит через вершину одной из парабол и пересекает другую параболу в двух точках.
• Когда прямая касается одной из парабол и пересекает другую в одной точке.

В данном случае, прямая \( y = 4 \) проходит через вершину параболы \( y = -x^2 + 4 \) и пересекает параболу \( y = -x^2 + 10x - 16 \) в двух точках.
Прямая \( y = 9 \) проходит через вершину параболы \( y = -x^2 + 10x - 16 \) и пересекает параболу \( y = -x^2 + 4 \) в двух точках.

Таким образом, значения параметра b, при которых прямая \( y = b \) имеет ровно три общие точки с графиком функции, равны 4 и 9.

Ответ: b = 4 ; b = 9