Определи все отмеченные точки, в которых производная функции y = f(x) положительна. В ответе укажи количество этих точек.

Решение:

Производная функции \( y = f(x) \) положительна там, где функция возрастает. На графике функция возрастает на интервалах, где её график идёт вверх слева направо. Нам нужно найти отмеченные точки \( x_1, x_2, ..., x_9 \), которые попадают на эти интервалы возрастания.

Рассмотрим график:

• Функция возрастает на интервале, где её касательная имеет положительный наклон.
• На графике отмечены точки \( x_1, x_2, x_3, x_4 \) на возрастающем участке, и точки \( x_7, x_8, x_9 \) на другом возрастающем участке.
• Точки \( x_5 \) и \( x_6 \) находятся на убывающем участке или в точке экстремума, где производная равна нулю или отрицательна.
• Точки \( x_1, x_2, x_3 \) и \( x_7, x_8 \) явно находятся на возрастающих участках.
• Точка \( x_4 \) находится на убывающем участке перед минимумом.
• Точка \( x_9 \) находится на убывающем участке после максимума.
• На графике видно, что функция возрастает в промежутках, соответствующих точкам \( x_1, x_2, x_3 \) и \( x_7, x_8 \).

Таким образом, точки, в которых производная положительна, это \( x_1, x_2, x_3 \) и \( x_7, x_8 \).

Подсчитаем количество этих точек: 3 + 2 = 5.

Ответ: 5