Определи, является ли выражение √10-√19 - √10 + √19 целым числом?

Привет! Смотри, какая интересная задачка. Давай разберемся вместе!

Упрощаем выражение:

• Исходное выражение: \[ \sqrt{10 - \sqrt{19}} - \sqrt{10 + \sqrt{19}} \]
• Обозначим это выражение как x: \[ x = \sqrt{10 - \sqrt{19}} - \sqrt{10 + \sqrt{19}} \]
• Возведем обе части в квадрат: \[ x^2 = (\sqrt{10 - \sqrt{19}} - \sqrt{10 + \sqrt{19}})^2 \]
• Раскрываем скобки: \[ x^2 = (10 - \sqrt{19}) - 2\sqrt{(10 - \sqrt{19})(10 + \sqrt{19})} + (10 + \sqrt{19}) \]
• Упрощаем: \[ x^2 = 20 - 2\sqrt{100 - 19} \] \[ x^2 = 20 - 2\sqrt{81} \] \[ x^2 = 20 - 2 \cdot 9 \] \[ x^2 = 20 - 18 \] \[ x^2 = 2 \]
• Значит, \[ x = \pm \sqrt{2} \]. Так как \[ \sqrt{10 - \sqrt{19}} < \sqrt{10 + \sqrt{19}} \], то \[ x = -\sqrt{2} \].

Так что, это не целое число.

Ответ: нет