Ответ:

1. То там, то здесь появлялись эти странные всадники. Союз связывает однородные обстоятельства места.

2. То дождь с каким-нибудь вопросом подойдет, то бабушка что-то потребует. Повторяющийся союз связывает два предложения.

3. Не поймешь, какая погода на улице: не то дождь идет, не то снег. Союз связывает два предложения. Между первой и второй частями уместно двоеточие: далее поясняется, какая погода.

4. Мы либо победим, либо умрем. Союз связывает два предложения.

5. Каждое утро на стене появлялись какие-нибудь новые надписи или рисунки. Союз связывает однородные подлежащие.

6. На завтрак можно было выбрать или овсяную кашу, или манную. Союз связывает однородные дополнения.

7. Немедленно принеси этот пакет, или я за себя не ручаюсь! Союз связывает два предложения.

8. Девушка, безусловно, была красивой, но безвкусно одетой. Союз связывает однородные сказуемые. «Безусловно» — вводное слово.

9. Дождь, в конце концов, перестал, но солнце еще не выглянуло из-за туч. Союз связывает два предложения. «В конце концов» здесь — вводное сочетание.

10. Впрочем, это была не большая собака, а совсем маленький щенок. Отрицание пишется раздельно из-за противопоставления с союзом «а». Союз связывает однородные именные части сказуемого.

11. Кажется, он хотел что-то сказать, но передумал. Союз связывает два предложения.

12. Уже наступило воскресенье, а ветер всё не переставал. Союз связывает два предложения.