Определить путь, пройденный материальной точкой массой m по оси Ох за время t = 1 с, если она движется под действием силы Fx = = 12 mt². В момент времени t₀ = 0 координата x₀ = 3 м, скорость v₀ = 6 м/с

Решение:

Для определения пути материальной точки воспользуемся вторым законом Ньютона: \( F_x = m a_x \), где \( F_x \) — сила, действующая на точку, \( m \) — масса точки, \( a_x \) — ускорение точки по оси Ох.

Из условия задачи известно, что сила \( F_x = 12mt^2 \). Тогда ускорение \( a_x \) можно найти как:

\[ a_x = \frac{F_x}{m} = \frac{12mt^2}{m} = 12t^2 \]

Расчет пройденного пути:

Движение точки является равноускоренным, так как ускорение зависит от времени. Для нахождения пройденного пути воспользуемся формулой кинематики для равнопеременного движения:

\[ s = v_0 t + \frac{a_x t^2}{2} \]

Подставим значения:

У нас есть:

• Начальная скорость \( v_0 = 6 \) м/с.
• Время \( t = 1 \) с.
• Ускорение \( a_x \) зависит от времени, поэтому для точного расчета пути необходимо интегрирование.

Интегрирование для нахождения пути:

Уравнение скорости: \( v(t) = v_0 + \int_{0}^{t} a_x(t') dt' \).

\[ v(t) = 6 + \int_{0}^{t} 12t'^2 dt' = 6 + \left[ \frac{12t'^3}{3} \right]_{0}^{t} = 6 + 4t^3 \]

Теперь найдем пройденный путь, интегрируя скорость:

\[ s = \int_{0}^{1} v(t) dt = \int_{0}^{1} (6 + 4t^3) dt \]

• Интегрируем: \( s = \left[ 6t + \frac{4t^4}{4} \right]_{0}^{1} = \left[ 6t + t^4 \right]_{0}^{1} \)
• Подставляем пределы интегрирования: \( s = (6 × 1 + 1^4) - (6 × 0 + 0^4) = (6 + 1) - 0 = 7 \)

Ответ: Путь, пройденный материальной точкой за 1 с, равен 7 м.