3. Определить ранг матрицы $$A=\begin{pmatrix}1 & -3 & 2\\3 & -4 & 1\\2 & -5 & 3\end{pmatrix}$$

Для определения ранга матрицы необходимо выполнить следующие шаги:

1. Запишем матрицу:

$$A=\begin{pmatrix}1 & -3 & 2\\3 & -4 & 1\\2 & -5 & 3\end{pmatrix}$$

2. Приведем матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк.

Вычтем из второй строки первую, умноженную на 3, а из третьей строки первую, умноженную на 2:

$$A=\begin{pmatrix}1 & -3 & 2\\0 & 5 & -5\\0 & 1 & -1\end{pmatrix}$$

Разделим вторую строку на 5:

$$A=\begin{pmatrix}1 & -3 & 2\\0 & 1 & -1\\0 & 1 & -1\end{pmatrix}$$

Вычтем из третьей строки вторую:

$$A=\begin{pmatrix}1 & -3 & 2\\0 & 1 & -1\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$

3. Определим ранг матрицы. Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк в ступенчатом виде.

В данном случае, после приведения матрицы к ступенчатому виду, получили две ненулевые строки: (1, -3, 2) и (0, 1, -1).

Следовательно, ранг матрицы равен 2.

Ответ: 2