4. Определить угол между векторами АВ; АС, если: А(2;-3;-6), B(-1;4;-2), C(2;3;-5).

Для определения угла между векторами \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \), сначала найдем координаты этих векторов.

1. Найдем координаты вектора \( \overrightarrow{AB} \):

   \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - 2, 4 - (-3), -2 - (-6)) = (-3, 7, 4) \]

2. Найдем координаты вектора \( \overrightarrow{AC} \):

   \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (2 - 2, 3 - (-3), -5 - (-6)) = (0, 6, 1) \]

3. Используем формулу для нахождения косинуса угла между двумя векторами:

   \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|} \]

   где \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \) - скалярное произведение векторов, а \( |\overrightarrow{AB}| \) и \( |\overrightarrow{AC}| \) - их длины.

4. Вычислим скалярное произведение \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \):

   \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-3)(0) + (7)(6) + (4)(1) = 0 + 42 + 4 = 46 \]

5. Вычислим длину вектора \( \overrightarrow{AB} \):

   \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + 7^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 49 + 16} = \sqrt{74} \]

6. Вычислим длину вектора \( \overrightarrow{AC} \):

   \[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{0^2 + 6^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 36 + 1} = \sqrt{37} \]

7. Подставим полученные значения в формулу для косинуса угла:

   \[ \cos(\theta) = \frac{46}{\sqrt{74} \cdot \sqrt{37}} = \frac{46}{\sqrt{74 \cdot 37}} = \frac{46}{\sqrt{2738}} = \frac{46}{\sqrt{2 \cdot 37 \cdot 37}} = \frac{46}{37\sqrt{2}} = \frac{46\sqrt{2}}{37 \cdot 2} = \frac{23\sqrt{2}}{37} \]

8. Найдем угол \( \theta \), используя арккосинус:

   \[ \theta = \arccos\left(\frac{23\sqrt{2}}{37}\right) \]

   Приближенное значение угла в градусах: \(\theta \approx \arccos(0.878) \approx 28.6^{\circ}\)

Ответ: \(\arccos\left(\frac{23\sqrt{2}}{37}\right)\)