Определите число, которое делится на 5. К нему справа приписали это же число ещё раз. Оказалось, что полученное число делится на 17. Какое число задумали?

Решение:

Пусть задуманное число равно \( x \). Поскольку оно делится на 5, то \( x \) заканчивается на 0 или 5. Приписывание числа \( x \) справа означает умножение \( x \) на 10 (если \( x \) — однозначное), на 100 (если \( x \) — двузначное) и так далее, и добавление \( x \).

Пусть \( x \) — двузначное число. Тогда запись \( x \) справа означает \( x \cdot 100 + x \). Получаем число \( 101x \).

По условию, \( 101x \) делится на 17. Так как 101 не делится на 17 \(101 = 17 \cdot 5 + 16\), то \( x \) должно делиться на 17. Из двузначных чисел, кратных 17, подходят: 17, 34, 51, 68, 85. Из них на 5 делится только 85.

Проверим: \( x = 85 \). Число делится на 5. Приписываем 85 справа: 8585. Проверим, делится ли 8585 на 17. \( 8585 : 17 = 505 \). Число делится на 17.

Если \( x \) — однозначное число, то \( x \) может быть 5 (так как делится на 5). Тогда получаем число \( 55 \). \( 55 : 17 \) — не делится.

Если \( x \) — трёхзначное число, то получаем \( x \cdot 1000 + x = 1001x \). \( 1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13 \). 1001 не делится на 17. Тогда \( x \) должно делиться на 17. Трёхзначные числа, делящиеся на 5 и 17, это числа, делящиеся на 85. Например, 170, 340, ..., 935. Но мы должны найти такое \( x \), что \( 1001x \) делится на 17. Если \( x \) делится на 17, то \( 1001x \) делится на 17. При этом \( x \) должно делиться на 5. Трёхзначные числа, кратные 85: 170, 255, 340, 425, 510, 595, 680, 765, 850, 935. Проверим, например, \( x = 170 \). Получаем 170170. \( 170170 : 17 = 10010 \). Так что 170 подходит. Но в задачах такого типа обычно предполагается наименьшее число.

Рассмотрим случай, когда \( x \) — двузначное число. Тогда \( x = 85 \).

Ответ: 85.