Ответ:

В предложении «Подруга каждая тут тихо толк подругу» фрагмент «толк» выглядит неясным; ниже он рассматривается как напечатанный. Если это опечатка, тип сказуемого может зависеть от исправления.

ПредложенияФорма
Сергей будет поступать в театральное училище.
Он с удовольствием уехал бы в деревню.
Запишите домашнее задание.
Наступает хмурое утро.
Наступило хмурое утро.
Во всех предложениях — ПГС. В первом сказуемое «будет поступать» стоит в форме будущего времени; в остальных сказуемые выражены личными формами глаголов.
Жить — родине служить.«Жить» и «служить» — ПГС, выраженные инфинитивами.
Подруга каждая тут тихо толк подругу.При буквальном прочтении сказуемое не определяется: в предложении нет читаемой личной формы глагола. Вероятно, в тексте есть опечатка.
Команда одержала победу в чемпионате.ПГС «одержала».
Давай я поеду с тобой.
Пусть уезжает с отцом.
Да приснятся тебе сладкие сны.
ПГС: «поеду», «уезжает», «приснятся». Частицы «давай», «пусть», «да» придают сказуемым значение побуждения или пожелания.
Он было пошёл к двери, но вдруг остановился.
В комнате как будто попахивало гарью.
Он словно остолбенел от испуга.
Он чуть не умер с горя.
Он только что не кувыркался, стараясь рассмешить публику.
Он едва ли не помешался от радости.
ПГС, осложнённые дополнительными словами: «было пошёл», «как будто попахивало», «словно остолбенел», «чуть не умер», «только что не кувыркался», «едва ли не помешался».