Определите имеет ли система линейных уравнений решение и решите систему линейных уравнений тремя способами (подстановкой, сложением и графически): (7x - y = 1, (y - 2x = 4;

Решение системы линейных уравнений:

Заданная система:

• \[ \begin{cases} 7x - y = 1 \\ y - 2x = 4 \end{cases} \]

1. Метод подстановки:

1. Выразим y из первого уравнения: y = 7x - 1
2. Подставим это выражение во второе уравнение: (7x - 1) - 2x = 4
3. Решим полученное уравнение:
• $$7x - 1 - 2x = 4$$
• $$5x = 5$$
• $$x = 1$$
4. Подставим значение x в выражение для y: $$y = 7(1) - 1 = 7 - 1 = 6$$

Решение: x = 1, y = 6

2. Метод сложения:

1. Приведем оба уравнения к виду, где переменные находятся слева, а константы справа:
• $$7x - y = 1$$
• $$-2x + y = 4$$
2. Сложим уравнения:
• $$(7x - y) + (-2x + y) = 1 + 4$$
• $$5x = 5$$
• $$x = 1$$
3. Подставим значение x в любое из исходных уравнений. Возьмем первое:
• $$7(1) - y = 1$$
• $$7 - y = 1$$
• $$y = 6$$

Решение: x = 1, y = 6

3. Графический метод:

Для графического метода преобразуем уравнения к виду $$y = mx + b$$:

• Из первого уравнения: $$y = 7x - 1$$
• Из второго уравнения: $$y = 2x + 4$$

Построим графики этих двух линейных функций. Точка пересечения графиков будет решением системы.

График:

Графики пересекаются в точке с координатами (1, 6).

Ответ: Система имеет единственное решение: x = 1, y = 6.