Определите, какие утверждения верны: 1) Сумма чисел $\frac{5\sqrt3}{\sqrt3-\sqrt2}$ и $2-5\sqrt6$ является рациональным числом. 2) Разность чисел $(6\sqrt2-3)^2$ и $36\sqrt2$ является рациональным числом. 3) Произведение чисел $2-5\sqrt7$ и $2+5\sqrt7$ является иррациональным числом. 4) Сумма чисел $6+\sqrt3$ и $6-\sqrt3$ является рациональным числом. 5) Произведение чисел $\sqrt{12-\sqrt5}$ и $\sqrt{12+\sqrt5}$ является иррациональным числом. 6) Частное чисел $3\sqrt2-3$ и $\sqrt2-1$ является иррациональным числом. 7) Разность чисел $\frac{5\sqrt3}{\sqrt3-\sqrt2}$ и $2-5\sqrt6$ является рациональным числом.

Question

$Фото задания: Определите, какие утверждения верны: 1) Сумма чисел $\frac{5\sqrt3}{\sqrt3-\sqrt2}$ и $2-5\sqrt6$ является рациональным…$ Фото задания

Accepted Answer

$\frac{5\sqrt3}{\sqrt3-\sqrt2}=\frac{5\sqrt3(\sqrt3+\sqrt2)}{3-2}=15+5\sqrt6$. Тогда $15+5\sqrt6+2-5\sqrt6=17$ — рациональное число. Утверждение верно.
$(6\sqrt2-3)^2=72-36\sqrt2+9=81-36\sqrt2$. Разность с $36\sqrt2$: $81-72\sqrt2$ — иррациональное число. Утверждение неверно.
$(2-5\sqrt7)(2+5\sqrt7)=4-175=-171$ — рациональное число. Утверждение неверно.
$(6+\sqrt3)+(6-\sqrt3)=12$ — рациональное число. Утверждение верно.
$\sqrt{12-\sqrt5}\cdot\sqrt{12+\sqrt5}=\sqrt{(12-\sqrt5)(12+\sqrt5)}=\sqrt{144-5}=\sqrt{139}$ — иррациональное число. Утверждение верно.
$\frac{3\sqrt2-3}{\sqrt2-1}=\frac{3(\sqrt2-1)}{\sqrt2-1}=3$ — рациональное число. Утверждение неверно.
$(15+5\sqrt6)-(2-5\sqrt6)=13+10\sqrt6$ — иррациональное число. Утверждение неверно.

Ответ: отметить утверждения 1, 4 и 5.