Определите, какие утверждения являются верными, а какие ложными. Обоснуйте свои ответы. 1. Если в равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны, то высота трапеции равна полусумме оснований. 2. В равнобедренной трапеции, если диагонали взаимно перпендикулярны, то площадь трапеции равна квадрату ее высоты. 3. В равнобедренной трапеции, если диагонали взаимно перпендикулярны, то средняя линия равна высоте.

Решение:

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC, где AD > BC. Диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны, то есть \( AC \perp BD \). Пусть точка их пересечения — O. Так как трапеция равнобедренная, то \( AC = BD \) и \( \triangle AOD \sim \triangle COB \).

Опустим из вершины B высоту BH на основание AD. В равнобедренной трапеции, если провести высоту из вершины B на большее основание AD, то получим отрезок AH, который равен полуразности оснований: \( AH = \frac{AD - BC}{2} \).

Проведем через точку O прямую, параллельную основаниям, которая пересечет боковые стороны трапеции. Также проведем через точку O высоту трапеции, которая будет делить основание AD на две равные части, если O — середина высоты. Однако, это не всегда так.

Рассмотрим случай, когда диагонали перпендикулярны. Пусть \( h_1 \) — высота \( \triangle AOD \) из вершины O на основание AD, а \( h_2 \) — высота \( \triangle COB \) из вершины O на основание BC. Так как \( AC \perp BD \), то \( h_1 \) и \( h_2 \) являются высотами этих треугольников, проведенными к основаниям AD и BC соответственно. При этом \( h_1 + h_2 \) является высотой трапеции, H.

В равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями, высота, опущенная из вершины на большее основание, делит диагональ пополам. Это неверно.

Важное свойство: В равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями, высота трапеции равна средней линии. \( H = \frac{AD+BC}{2} \).

Утверждение 1: Если в равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны, то высота трапеции равна полусумме оснований.

Верно. Это свойство равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями. \( H = \frac{AD+BC}{2} \).

Утверждение 2: В равнобедренной трапеции, если диагонали взаимно перпендикулярны, то площадь трапеции равна квадрату ее высоты.

Площадь трапеции \( S = \frac{AD+BC}{2} \) \( \cdot H \). Так как \( H = \frac{AD+BC}{2} \), то \( S = H \) \( \cdot H = H^2 \).

Верно. Площадь равна квадрату высоты.

Утверждение 3: В равнобедренной трапеции, если диагонали взаимно перпендикулярны, то средняя линия равна высоте.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: \( m = \frac{AD+BC}{2} \). Как показано выше, при перпендикулярных диагоналях \( H = \frac{AD+BC}{2} \).

Следовательно, \( m = H \).

Верно. Средняя линия равна высоте.

Ответ: Все три утверждения верны.