Определите количество решений системы уравнений: $$ \begin{cases} x_1 - 2x_2 + 3x_3 = 0 \\ -x_1 + 2x_2 + 4x_3 + 3x_4 = 0 \\ -5x_2 + 2x_4 = 0 \end{cases} $$

Решение:

Дана система трех линейных уравнений с четырьмя переменными:

$$ \begin{cases} x_1 - 2x_2 + 3x_3 = 0 \\ -x_1 + 2x_2 + 4x_3 + 3x_4 = 0 \\ -5x_2 + 2x_4 = 0 \end{cases} $$

Упростим систему:

1. Сложим первое и второе уравнения:

$$ (x_1 - 2x_2 + 3x_3) + (-x_1 + 2x_2 + 4x_3 + 3x_4) = 0 \\ 7x_3 + 3x_4 = 0 \\ x_3 = -\frac{3}{7}x_4$$

Из третьего уравнения выразим \( x_2 \) через \( x_4 \):

$$ -5x_2 = -2x_4 \\ x_2 = \frac{2}{5}x_4$$

Подставим \( x_2 \) и \( x_3 \) в первое уравнение, чтобы выразить \( x_1 \) через \( x_4 \):

$$ x_1 - 2(\frac{2}{5}x_4) + 3(-\frac{3}{7}x_4) = 0 \\ x_1 - \frac{4}{5}x_4 - \frac{9}{7}x_4 = 0 \\ x_1 = (\frac{4}{5} + \frac{9}{7})x_4 \\ x_1 = (\frac{28 + 45}{35})x_4 \\ x_1 = \frac{73}{35}x_4$$

Мы получили, что \( x_1, x_2, x_3 \) выражаются через \( x_4 \). Так как \( x_4 \) может принимать любое действительное значение, система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: Система имеет бесконечно много решений.