Определите количество сторон правильного многоугольника, у которого внешний угол в 2 раза меньше внутреннего.

Решение:

Обозначим внешний угол правильного многоугольника как \( \alpha \), а внутренний как \( \beta \).

По условию задачи, внешний угол в 2 раза меньше внутреннего:

\( \alpha = \frac{1}{2} \beta \)

Сумма внешнего и внутреннего углов правильного многоугольника равна 180 градусов:

\( \alpha + \beta = 180^{\circ} \)

Подставим первое уравнение во второе:

\( \frac{1}{2} \beta + \beta = 180^{\circ} \)

\( \frac{3}{2} \beta = 180^{\circ} \)

\( \beta = 180^{\circ} \cdot \frac{2}{3} \)

\( \beta = 120^{\circ} \)

Теперь найдём внешний угол:

\( \alpha = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \)

Или, используя условие:

\( \alpha = \frac{1}{2} \cdot 120^{\circ} = 60^{\circ} \)

Количество сторон правильного многоугольника \( n \) можно найти по формуле внешнего угла:

\( \alpha = \frac{360^{\circ}}{n} \)

Выразим \( n \):

\( n = \frac{360^{\circ}}{\alpha} \)

Подставим значение \( \alpha \):

\( n = \frac{360^{\circ}}{60^{\circ}} \)

\( n = 6 \)

Таким образом, многоугольник имеет 6 сторон.

Ответ: 6