Определите координату точки пересечения прямых AB и CD. A(0;4), B(6;-2), C(7;3), D(-3;-2)

Решение:

Для нахождения точки пересечения прямых AB и CD, нам нужно найти уравнения этих прямых, а затем решить систему из этих двух уравнений.

1. Уравнение прямой AB:

Координаты точек: \( A(0; 4) \) и \( B(6; -2) \).

Угловой коэффициент \( k_{AB} \) находится по формуле: \( k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)

\( k_{AB} = \frac{-2 - 4}{6 - 0} = \frac{-6}{6} = -1 \).

Уравнение прямой имеет вид \( y = kx + b \). Так как точка A(0; 4) лежит на оси Y, то \( b = 4 \).

Уравнение прямой AB: \( y = -1x + 4 \) или \( y = -x + 4 \).

2. Уравнение прямой CD:

Координаты точек: \( C(7; 3) \) и \( D(-3; -2) \).

Угловой коэффициент \( k_{CD} \) находится по формуле: \( k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)

\( k_{CD} = \frac{-2 - 3}{-3 - 7} = \frac{-5}{-10} = \frac{1}{2} \).

Уравнение прямой имеет вид \( y = kx + b \). Подставим координаты точки C(7; 3) и найденный \( k_{CD} = \frac{1}{2} \):

\( 3 = \frac{1}{2} \cdot 7 + b \)

\( 3 = \frac{7}{2} + b \)

\( b = 3 - \frac{7}{2} = \frac{6}{2} - \frac{7}{2} = -\frac{1}{2} \).

Уравнение прямой CD: \( y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \).

3. Находим точку пересечения:

Решаем систему уравнений:

\( \begin{cases} y = -x + 4 \\ y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \\\end{cases} \)

Приравниваем правые части уравнений:

\( -x + 4 = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \)

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дробей:

\( -2x + 8 = x - 1 \)

Перенесем переменные в одну сторону, а числа в другую:

\( 8 + 1 = x + 2x \)

\( 9 = 3x \)

\( x = \frac{9}{3} = 3 \).

Теперь найдем \( y \), подставив \( x = 3 \) в любое из уравнений. Возьмем уравнение прямой AB:

\( y = -3 + 4 \)

\( y = 1 \).

Таким образом, точка пересечения имеет координаты (3; 1).

Ответ: (3; 1).