Определите корень уравнения $$(x-4)^2 < \sqrt{6(x-4)}$$.

Дано:

• \[ (x-4)^2 < \sqrt{6(x-4)} \]

Решение:

1. ОДЗ (Область допустимых значений): Для квадратного корня необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:
• \[ 6(x-4) \ge 0 \]
• \[ x-4 \ge 0 \]
• \[ x \ge 4 \]
2. Решение неравенства:
• Возведем обе части неравенства в квадрат. Так как обе части неотрицательны (левая часть - квадрат, правая - корень), знак неравенства сохранится:
• \[ ((x-4)^2)^2 < (\sqrt{6(x-4)})^2 \]
• \[ (x-4)^4 < 6(x-4) \]
• Перенесем все в левую часть:
• \[ (x-4)^4 - 6(x-4) < 0 \]
• Вынесем общий множитель $$(x-4)$$:
• \[ (x-4) [(x-4)^3 - 6] < 0 \]
• Рассмотрим два случая для выполнения условия < 0:
• Случай 1:
• \[ x-4 > 0 \] => \[ x > 4 \]
• \[ (x-4)^3 - 6 < 0 \] => \[ (x-4)^3 < 6 \] => \[ x-4 < \sqrt[3]{6} \] => \[ x < 4 + \sqrt[3]{6} \]
• Пересечение условий: \[ 4 < x < 4 + \sqrt[3]{6} \]
• Случай 2:
• \[ x-4 < 0 \] => \[ x < 4 \]
• \[ (x-4)^3 - 6 > 0 \] => \[ (x-4)^3 > 6 \] => \[ x-4 > \sqrt[3]{6} \] => \[ x > 4 + \sqrt[3]{6} \]
• Пересечение условий: \[ x < 4 \text{ и } x > 4 + \sqrt[3]{6} \]
• Это пересечение не имеет решений, так как $$4 + \sqrt[3]{6}$$ больше 4.
• Объединение решений:
• Объединяем решение из Случая 1 с ОДЗ ($$x >= 4$$).
• \[ 4 < x < 4 + \sqrt[3]{6} \]

Ответ: $$ (4; 4 + \sqrt[3]{6}) $$