Определите корни уравнения $$\frac{3}{a+2} + 1 = \frac{4}{a^2 + 4a + 4}$$ и в ответе укажите разность между его большим и меньшим корнями.

Решение:

Дано уравнение: \( \frac{3}{a+2} + 1 = \frac{4}{a^2 + 4a + 4} \)

Приведём уравнение к общему знаменателю. Заметим, что \( a^2 + 4a + 4 = (a+2)^2 \). Знаменатель \( a+2 \) не должен быть равен нулю, то есть \( a \neq -2 \).

Умножим обе части уравнения на \( (a+2)^2 \):

\[ 3(a+2) + (a+2)^2 = 4 \]

Раскроем скобки:

\[ 3a + 6 + a^2 + 4a + 4 = 4 \]

Приведём подобные члены:

\[ a^2 + 7a + 10 = 4 \]

Перенесём всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ a^2 + 7a + 6 = 0 \]

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \):

\[ D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25 \]

Корни уравнения:

\[ a_1 = \frac{-7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

\[ a_2 = \frac{-7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 5}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \]

Оба корня \( -1 \) и \( -6 \) не равны \( -2 \), поэтому являются решениями исходного уравнения.

Найдём разность между большим и меньшим корнями:

\[ a_{больший} - a_{меньший} = -1 - (-6) = -1 + 6 = 5 \]

Ответ: 5