Определите, лежат ли в одной плоскости точки A(1;0;-1), B(-2;-1;0), C(0;-2;-1), D(1;5;0).

Привет! Давай проверим, лежат ли эти точки в одной плоскости.

Чтобы точки лежали в одной плоскости, смешанное произведение векторов, образованных этими точками, должно быть равно нулю.

1. Найдем векторы:
• \[ Вектор АВ = B - A = (-2 - 1; -1 - 0; 0 - (-1)) = (-3; -1; 1) \]
• \[ Вектор АС = C - A = (0 - 1; -2 - 0; -1 - (-1)) = (-1; -2; 0) \]
• \[ Вектор АД = D - A = (1 - 1; 5 - 0; 0 - (-1)) = (0; 5; 1) \]
• Вычислим смешанное произведение:
• \[ (АВ \times АС) ∙ АД = \begin{vmatrix} -3 & -1 & 1 \\ -1 & -2 & 0 \\ 0 & 5 & 1 \end{vmatrix} \]
• \[ = -3 \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 5 & 1 вmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 вmatrix} + 1 \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 0 & 5 вmatrix} \]
• \[ = -3((-2)(1) - (0)(5)) + 1((-1)(1) - (0)(0)) + 1((-1)(5) - (-2)(0)) \]
• \[ = -3(-2 - 0) + 1(-1 - 0) + 1(-5 - 0) \]
• \[ = -3(-2) + 1(-1) + 1(-5) \]
• \[ = 6 - 1 - 5 = 0 \]

Поскольку смешанное произведение равно нулю, векторы компланарны, и точки A, B, C, D лежат в одной плоскости.

Ответ: Точки лежат в одной плоскости.