Давайте определим наклонение глаголов в предложениях и заполним пропуски.
1. "Нет в мировой литературе другой няни, чьё имя так тесно сплеталось бы с именем её питомца".
* Глагол: "сплеталось".
* Наклонение: Условное (сослагательное), так как присутствует частица "бы".
* Вставляем: "бы".
2. "Простая, неграмотная русская женщина, крепостная крестьянка стала спутницей великого русского поэта".
* Глагол: "стала".
* Наклонение: Изъявительное, так как описывает реальное действие в прошлом.
* Вставляем: ничего.
3. "И нет в нашей стране школьника, которому не было бы знакомо имя Арины Родионовны".
* Глагол: "было".
* Наклонение: Условное (сослагательное), так как присутствует частица "бы".
* Вставляем: "бы".
4. "Поблагодарите её за то, что она..."
* Глагол: "Поблагодарите".
* Наклонение: Повелительное, выражает просьбу или приказ.
* Вставляем: ничего.