1. Определите ние Вариант 1 корней уравнения: a) 9x² + 12x + 4 = 0; б) 2x²+3x-11 = 0. 2. Решите уравнение: a) x² - 14x + 33 = 0; б) -3x²+10x - 3 = 0; в) х⁴ – 10x² + 9 = 0. 3. Одна сторона прямоугольника на 9 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь рав- на 112 см². 4. Решите уравнение 25-x² - 5+x - x-5 = 0. 5. При каких значениях параметра р уравнение 4x² + px + 9 = 0 имеет один корень?

1. Определите число корней уравнения:

a) 9x² + 12x + 4 = 0

Дискриминант: D = b² - 4ac = 12² - 4 * 9 * 4 = 144 - 144 = 0

Так как дискриминант равен 0, уравнение имеет один корень.

б) 2x² + 3x - 11 = 0

Дискриминант: D = b² - 4ac = 3² - 4 * 2 * (-11) = 9 + 88 = 97

Так как дискриминант больше 0, уравнение имеет два корня.

2. Решите уравнение:

a) x² - 14x + 33 = 0

Дискриминант: D = b² - 4ac = (-14)² - 4 * 1 * 33 = 196 - 132 = 64

Корни: x₁ = (14 + √64) / 2 = (14 + 8) / 2 = 11, x₂ = (14 - √64) / 2 = (14 - 8) / 2 = 3

б) -3x² + 10x - 3 = 0

Дискриминант: D = b² - 4ac = 10² - 4 * (-3) * (-3) = 100 - 36 = 64

Корни: x₁ = (-10 + √64) / (-6) = (-10 + 8) / (-6) = 1/3, x₂ = (-10 - √64) / (-6) = (-10 - 8) / (-6) = 3

в) x⁴ - 10x² + 9 = 0

Замена: y = x²

Уравнение: y² - 10y + 9 = 0

Дискриминант: D = b² - 4ac = (-10)² - 4 * 1 * 9 = 100 - 36 = 64

Корни: y₁ = (10 + √64) / 2 = (10 + 8) / 2 = 9, y₂ = (10 - √64) / 2 = (10 - 8) / 2 = 1

Обратная замена: x² = 9 и x² = 1

Корни: x₁ = 3, x₂ = -3, x₃ = 1, x₄ = -1

3. Одна сторона прямоугольника на 9 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 112 см².

Пусть x - одна сторона, тогда x + 9 - другая сторона.

Площадь: x * (x + 9) = 112

Уравнение: x² + 9x - 112 = 0

Дискриминант: D = 9² - 4 * 1 * (-112) = 81 + 448 = 529

Корни: x₁ = (-9 + √529) / 2 = (-9 + 23) / 2 = 7, x₂ = (-9 - √529) / 2 = (-9 - 23) / 2 = -16 (не подходит, так как сторона не может быть отрицательной)

Одна сторона: 7 см, другая сторона: 7 + 9 = 16 см

4. Решите уравнение \[\frac{10}{25-x^2} - \frac{1}{5+x} - \frac{x}{x-5} = 0\]

Преобразуем уравнение: \[\frac{10}{(5-x)(5+x)} - \frac{1}{5+x} + \frac{x}{5-x} = 0\]

Умножим обе части на (5-x)(5+x):

\[10 - (5-x) + x(5+x) = 0\]

\[10 - 5 + x + 5x + x^2 = 0\]

\[x^2 + 6x + 5 = 0\]

Дискриминант: D = 6² - 4 * 1 * 5 = 36 - 20 = 16

Корни: x₁ = (-6 + √16) / 2 = (-6 + 4) / 2 = -1, x₂ = (-6 - √16) / 2 = (-6 - 4) / 2 = -5 (не подходит, так как знаменатель не может быть равен 0)

Решение: x = -1

5. При каких значениях параметра p уравнение 4x² + px + 9 = 0 имеет один корень?

Для того чтобы квадратное уравнение имело один корень, дискриминант должен быть равен нулю.

Дискриминант: D = p² - 4 * 4 * 9 = p² - 144

Условие: p² - 144 = 0

p² = 144

p = ±12

Значения параметра p: p = 12 и p = -12