Определите площадь, периметр и сторону треугольника.

Решение:

Задание №37

Площадь двух полей, засеянных подсолнечником, равна 80 га. На одном поле с каждого гектара собрали 3,6 т семян, а на другом — 4,2 т. Найдите площадь каждого поля, если с первого поля собрали на 63 т меньше, чем со второго.

Пусть \( S_1 \) и \( S_2 \) — площади полей соответственно, \( a_1 \) и \( a_2 \) — урожайность с гектара соответственно.

Общая площадь: \( S_1 + S_2 = 80 \) га.

Собрано семян с первого поля: \( 3.6 \cdot S_1 \) т.

Собрано семян со второго поля: \( 4.2 \cdot S_2 \) т.

Разница в сборе семян: \( 4.2 \cdot S_2 - 3.6 \cdot S_1 = 63 \) т.

Из первого уравнения выразим \( S_1 \): \( S_1 = 80 - S_2 \).

Подставим во второе уравнение:

\( 4.2 \cdot S_2 - 3.6 \cdot (80 - S_2) = 63 \)

\( 4.2 \cdot S_2 - 288 + 3.6 \cdot S_2 = 63 \)

\( 7.8 \cdot S_2 = 63 + 288 \)

\( 7.8 \cdot S_2 = 351 \)

\( S_2 = \frac{351}{7.8} = 45 \) га.

Тогда \( S_1 = 80 - 45 = 35 \) га.

Ответ: Площадь первого поля 35 га, второго — 45 га.

Задание №38

В одном резервуаре хранилось 48 000 м³ нефти, а в другом — 48 480 м³. Сколько того как из первого резервуара взяли нефти, а в другом — 48 480 м³. Сколько нефти взяли из каждого резервуара, если первого резервуара взяли нефти в 2 раза меньше, чем из второго? Порожнего осталось на 10 м³ больше, чем во втором. Сколько нефти взяли из каждого резервуара?

Пусть \( x \) — количество нефти, взятое из второго резервуара.

Количество нефти, взятое из первого резервуара: \( \frac{x}{2} \).

Осталось в первом резервуаре: \( 48000 - \frac{x}{2} \).

Осталось во втором резервуаре: \( 48480 - x \).

Разница в остатках: \( (48000 - \frac{x}{2}) - (48480 - x) = 10 \).

\( 48000 - \frac{x}{2} - 48480 + x = 10 \)

\( \frac{x}{2} - 480 = 10 \)

\( \frac{x}{2} = 490 \)

\( x = 980 \) м³ — взяли из второго резервуара.

\( \frac{x}{2} = \frac{980}{2} = 490 \) м³ — взяли из первого резервуара.

Ответ: Из первого резервуара взяли 490 м³, из второго — 980 м³.

Задание №39

Периметр треугольника ABC равен 154 см. Найдите сторону AC, если сторона BC меньше стороны AC на 33 см, а сторона AB больше стороны BC на 4 см.

Пусть \( AC = x \) см.

Тогда \( BC = x - 33 \) см.

И \( AB = BC + 4 = (x - 33) + 4 = x - 29 \) см.

Периметр треугольника: \( AB + BC + AC = 154 \).

\( (x - 29) + (x - 33) + x = 154 \)

\( 3x - 62 = 154 \)

\( 3x = 154 + 62 \)

\( 3x = 216 \)

\( x = \frac{216}{3} = 72 \) см.

Значит, \( AC = 72 \) см.

\( BC = 72 - 33 = 39 \) см.

\( AB = 39 + 4 = 43 \) см.

Проверка: \( 72 + 39 + 43 = 154 \).

Ответ: AC = 72 см.

Задание №40

Найдите три последовательных целых числа, если их сумма равна -3.

Пусть первое число \( x \).

Тогда второе число \( x + 1 \), а третье — \( x + 2 \).

Сумма: \( x + (x + 1) + (x + 2) = -3 \).

\( 3x + 3 = -3 \)

\( 3x = -3 - 3 \)

\( 3x = -6 \)

\( x = -2 \).

Первое число: -2.

Второе число: \( -2 + 1 = -1 \).

Третье число: \( -2 + 2 = 0 \).

Ответ: -2, -1, 0.

Задание №41

Найдите семь последовательных целых чисел, если их сумма равна -42.

Пусть первое число \( x \).

Тогда второе число \( x + 1 \), третье — \( x + 2 \), четвертое — \( x + 3 \), пятое — \( x + 4 \), шестое — \( x + 5 \), седьмое — \( x + 6 \).

Сумма: \( x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + (x + 4) + (x + 5) + (x + 6) = -42 \).

\( 7x + 21 = -42 \)

\( 7x = -42 - 21 \)

\( 7x = -63 \)

\( x = -9 \).

Первое число: -9.

Второе число: \( -9 + 1 = -8 \).

Третье число: \( -9 + 2 = -7 \).

Четвертое число: \( -9 + 3 = -6 \).

Пятое число: \( -9 + 4 = -5 \).

Шестое число: \( -9 + 5 = -4 \).

Седьмое число: \( -9 + 6 = -3 \).

Ответ: -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3.

Задание №42

На автобусе Денис проехал на 7 км больше, чем прошёл пешком, когдаравился к другу в гости. Его путь составил был 150 км, если бы он проехал на автобусе расстояние в 10 раз больше и прошёл пешком в 6 раз больше, чем в действительности. Найдите расстояние от дома Дениса до друга.

Пусть \( x \) — расстояние, которое Денис проехал на автобусе.

Пусть \( y \) — расстояние, которое Денис прошёл пешком.

Из условия задачи: \( x = y + 7 \).

Общее расстояние: \( x + y = 150 \).

Подставим первое уравнение во второе:

\( (y + 7) + y = 150 \)

\( 2y + 7 = 150 \)

\( 2y = 143 \)

\( y = 71.5 \) км — прошёл пешком.

\( x = 71.5 + 7 = 78.5 \) км — проехал на автобусе.

Ответ: Расстояние от дома Дениса до друга 150 км.

Задание №43

Как найти: а) дробь от числа; б) число по его дроби; в) масштаб карты; г) расстояние на местности по известному расстоянию на карте и масштабу карты?

а) Дробь от числа: Чтобы найти дробь от числа, нужно число умножить на эту дробь.

Пример: Найти \( \frac{2}{3} \) от 30. Решение: \( 30 \cdot \frac{2}{3} = 20 \).

б) Число по его дроби: Чтобы найти число по его дроби, нужно число разделить на эту дробь.

Пример: Найти число, если \( \frac{3}{4} \) его равны 15. Решение: \( 15 : \frac{3}{4} = 15 \cdot \frac{4}{3} = 20 \).

в) Масштаб карты: Масштаб карты показывает, во сколько раз расстояние на карте меньше расстояния на местности. Он может быть числовым (например, 1:100 000) или именованным (например, в 1 см 1 км).

г) Расстояние на местности по известному расстоянию на карте и масштабу карты: Чтобы найти расстояние на местности, нужно расстояние на карте умножить на знаменатель числового масштаба (или на величину именованного масштаба).

Пример: Расстояние на карте 5 см, масштаб 1:100 000. Расстояние на местности: \( 5 \text{ см} \cdot 100 000 = 500 000 \text{ см} = 5 \text{ км} \).

Задание №44

За 5 дней была произведена обрезка яблонь на \( \frac{3}{7} \) площади сада. Сколько гектаров сада обрезали ежедневно, если каждый день обрезки одинаковое количество яблонь, и площадь яблоневого сада равна 73,5 га?

Общая площадь сада: 73,5 га.

Площадь, с которой обрезали яблони: \( 73.5 \cdot \frac{3}{7} \) га.

\( 73.5 : 7 = 10.5 \)

\( 10.5 \cdot 3 = 31.5 \) га — обрезали за 5 дней.

Площадь, обрезанная ежедневно: \( 31.5 : 5 = 6.3 \) га.

Ответ: Каждый день обрезали 6,3 га сада.

Задание №45

Решите двумя способами задачу.

а) В баскетбольной секции занимается \( \frac{2}{7} \) учащихся, а в волейбольной — \( \frac{1}{3} \). Остальные занимаются футболом. Сколько учащихся занимается футболом, если в спортивных секциях занимается 63 учащихся?

Способ 1 (через сумму дробей):

1. Найдем, какую часть учащихся составляют баскетболисты и волейболисты вместе:

\( \frac{2}{7} + \frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3}{7 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{6}{21} + \frac{7}{21} = \frac{13}{21} \).

2. Найдем, какую часть учащихся составляют футболисты:

\( 1 - \frac{13}{21} = \frac{21}{21} - \frac{13}{21} = \frac{8}{21} \).

3. Найдем общее количество учащихся, если \( \frac{8}{21} \) части составляют 63 человека:

\( 63 : \frac{8}{21} = 63 \cdot \frac{21}{8} = \frac{1323}{8} = 165.375 \).

Так как количество учащихся должно быть целым числом, скорее всего, в условии задачи есть ошибка.

Способ 2 (через количество учащихся):

Пусть \( x \) — общее количество учащихся.

Количество занимающихся баскетболом: \( \frac{2}{7} x \).

Количество занимающихся волейболом: \( \frac{1}{3} x \).

Количество занимающихся футболом: 63.

\( \frac{2}{7} x + \frac{1}{3} x + 63 = x \)

\( (\frac{2}{7} + \frac{1}{3}) x + 63 = x \)

\( \frac{13}{21} x + 63 = x \)

\( 63 = x - \frac{13}{21} x \)

\( 63 = \frac{8}{21} x \)

\( x = 63 \cdot \frac{21}{8} = \frac{1323}{8} = 165.375 \).

Опять получили дробное число учащихся. Предположим, что 63 — это общее число учащихся, занимающихся спортом.

Переформулируем задачу: Если в спортивных секциях занимается 63 учащихся, и \( \frac{2}{7} \) занимаются баскетболом, а \( \frac{1}{3} \) — волейболом, сколько занимается футболом?

Способ 1 (через сумму дробей):

1. Найдем, какую часть учащихся составляют баскетболисты и волейболисты вместе:

\( \frac{2}{7} + \frac{1}{3} = \frac{6}{21} + \frac{7}{21} = \frac{13}{21} \).

2. Найдем, какую часть учащихся составляют футболисты:

\( 1 - \frac{13}{21} = \frac{8}{21} \).

3. Найдем количество занимающихся футболом, если \( \frac{8}{21} \) части составляют 63 человека:

\( 63 \cdot \frac{8}{21} = 3 \cdot 8 = 24 \) человека.

Способ 2 (через количество учащихся):

Пусть \( x \) — общее количество учащихся (63).

Количество занимающихся баскетболом: \( 63 \cdot \frac{2}{7} = 9 \cdot 2 = 18 \) учащихся.

Количество занимающихся волейболом: \( 63 \cdot \frac{1}{3} = 21 \) учащийся.

Количество занимающихся футболом: \( 63 - 18 - 21 = 24 \) учащихся.

Ответ: 24 учащихся занимаются футболом.

б) Третью часть сметаны отправили в магазины города, пятую — в другие регионы, остальное разложили поровну в пяти холодильник на складе. Сколько килограммов было в каждом холодильнике, если молокозавод изготовил 2,25 т сметаны?

1. Переведем тонны в килограммы: \( 2.25 \text{ т} = 2.25 \cdot 1000 = 2250 \text{ кг} \).

2. Найдем, какую часть сметаны отправили в другие регионы и магазины:

\( \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{5}{15} + \frac{3}{15} = \frac{8}{15} \).

3. Найдем, какая часть сметаны осталась для холодильников:

\( 1 - \frac{8}{15} = \frac{7}{15} \).

4. Найдем, сколько килограммов сметаны осталось:

\( 2250 \cdot \frac{7}{15} = 150 \cdot 7 = 1050 \) кг.

5. Найдем, сколько килограммов сметаны было в каждом из пяти холодильников:

\( 1050 : 5 = 210 \) кг.

Ответ: В каждом холодильнике было 210 кг сметаны.

Задание №46

Сколько учащихся в школе, если нормы ГТО сдали 430 учащихся и не сдали нормы ГТО 14 % всех учащихся?

Если 14 % учащихся не сдали нормы ГТО, то нормы сдали \( 100 - 14 = 86 \) % учащихся.

Пусть \( x \) — общее количество учащихся в школе.

Тогда \( 0.86 \cdot x = 430 \).

\( x = \frac{430}{0.86} = 500 \) учащихся.

Ответ: В школе 500 учащихся.

Задание №47

Весной каждой из трёх групп школьников было изготовлено по 10 скворечников. В школьном дворе развесили 20 % скворечников, а остальные — в парке. Сколько скворечников развесили в парке?

Общее количество скворечников: \( 3 \text{ группы} \cdot 10 \text{ скворечников/группа} = 30 \) скворечников.

Развесили в школьном дворе: \( 30 \cdot 0.20 = 6 \) скворечников.

Развесили в парке: \( 30 - 6 = 24 \) скворечника.

Ответ: В парке развесили 24 скворечника.

Задание №48

Для детского сада было закуплено 180 игрушек. Из них 80 — настольные игры. Какой процент всех игрушек составляют настольные игры?

Количество настольных игр: 80.

Общее количество игрушек: 180.

Процент настольных игр: \( \frac{80}{180} \cdot 100 \% \).

\( \frac{80}{180} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9} \).

\( \frac{4}{9} \cdot 100 \% \approx 44.44 \% \).

Ответ: Настольные игры составляют примерно 44,44 % всех игрушек.

Задание №49

На школьном дворе засеяли клумбу площадью 50 м² смесью астр, которая состояла из \( \frac{1}{6} \) белых астр, \( \frac{1}{3} \) красных астр и 50 % сиреневых. Найдите, сколько килограммов каждого вида астр купили, если на 10 м² высевали 1,8 г смеси семян.

1. Определим долю каждого вида астр в смеси:

Белые астры: \( \frac{1}{6} \)

Красные астры: \( \frac{1}{3} \)

Сиреневые астры: \( 50 \% = \frac{1}{2} \)

Проверим сумму долей: \( \frac{1}{6} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{6}{6} = 1 \). Доли верны.

2. Рассчитаем общее количество смеси семян:

Площадь клумбы: 50 м².

Норма высева: 1,8 г на 10 м².

Количество посевов: \( 50 \text{ м}^2 : 10 \text{ м}^2 = 5 \) посевов.

Общий вес семян: \( 5 \cdot 1.8 \text{ г} = 9 \text{ г} \).

3. Рассчитаем вес каждого вида астр:

Вес белых астр: \( 9 \text{ г} \cdot \frac{1}{6} = 1.5 \) г.

Вес красных астр: \( 9 \text{ г} \cdot \frac{1}{3} = 3 \) г.

Вес сиреневых астр: \( 9 \text{ г} \cdot \frac{1}{2} = 4.5 \) г.

Ответ: Купили 1,5 г семян белых астр, 3 г семян красных астр и 4,5 г семян сиреневых астр.

Задание №50

а) На координатной прямой отметьте точки: A(-6), B(\(\frac{2}{3}\)), C(-1,7).

б) На координатной плоскости отметьте точки: K(-2; 7), N(-3; 0) и M(0; 7). Назовите абсциссу и ординату каждой точки.

Решение:

а) Отметка точек на координатной прямой:

Точка A(-6) находится на 6 единиц влево от начала координат (0).

Точка B(\(\frac{2}{3}\)) находится на \(\frac{2}{3}\) единицы вправо от начала координат (0).

Точка C(-1,7) — это не координата на прямой, а запись для координатной плоскости. Если предположить, что это -1,7, то точка находится на 1,7 единицы влево от начала координат (0).

б) Отметка точек на координатной плоскости и определение их координат:

Точка K(-2; 7):

Абсцисса (x): -2 (движение влево от оси Y на 2 единицы).

Ордината (y): 7 (движение вверх от оси X на 7 единиц).

Точка N(-3; 0):

Абсцисса (x): -3 (движение влево от оси Y на 3 единицы).

Ордината (y): 0 (точка лежит на оси X).

Точка M(0; 7):

Абсцисса (x): 0 (точка лежит на оси Y).

Ордината (y): 7 (движение вверх от оси X на 7 единиц).

Ответ:

а) Точки отмечены на координатной прямой согласно их значениям.

б) Для точки K(-2; 7): абсцисса -2, ордината 7. Для точки N(-3; 0): абсцисса -3, ордината 0. Для точки M(0; 7): абсцисса 0, ордината 7.