Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку. y = (x^2 + 1)(x + 2) / (-2 - x)

Решение:

Запишем уравнение функции:

\( y = \frac{(x^2 + 1)(x + 2)}{-2 - x} \)

Упростим знаменатель: \( -2 - x = -(x + 2) \).

Таким образом, функция принимает вид:

\( y = \frac{(x^2 + 1)(x + 2)}{-(x + 2)} \)

При \( x \neq -2 \), мы можем сократить \( (x + 2) \):

\( y = -(x^2 + 1) = -x^2 - 1 \)

Теперь нам нужно найти, при каких значениях \( k \) прямая \( y = kx \) имеет ровно одну общую точку с графиком функции \( y = -x^2 - 1 \), учитывая, что \( x \neq -2 \).

Приравняем уравнения:

\( kx = -x^2 - 1 \)

Перенесём всё в одну сторону:

\( x^2 + kx + 1 = 0 \)

Это квадратное уравнение. Для того чтобы у прямой и графика была ровно одна общая точка, это уравнение должно иметь один корень, и этот корень не должен быть равен \( -2 \).

Дискриминант квадратного уравнения \( Ax^2 + Bx + C = 0 \) равен \( D = B^2 - 4AC \). Для одного корня \( D = 0 \).

В нашем случае \( A = 1 \), \( B = k \), \( C = 1 \).

\( D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = k^2 - 4 \)

Приравняем дискриминант к нулю:

\( k^2 - 4 = 0 \)

\( k^2 = 4 \)

\( k = \pm 2 \)

Теперь проверим, не равен ли корень \( x = -2 \) при этих значениях \( k \).

Если \( k = 2 \):

\( x^2 + 2x + 1 = 0 \)

\( (x + 1)^2 = 0 \)

\( x = -1 \). Этот корень не равен \( -2 \), поэтому \( k = 2 \) подходит.

Если \( k = -2 \):

\( x^2 - 2x + 1 = 0 \)

\( (x - 1)^2 = 0 \)

\( x = 1 \). Этот корень не равен \( -2 \), поэтому \( k = -2 \) подходит.

Кроме того, нужно рассмотреть случай, когда прямая \( y = kx \) проходит через точку \( x = -2 \) графика функции \( y = -x^2 - 1 \).

Подставим \( x = -2 \) в \( y = -x^2 - 1 \):

\( y = -(-2)^2 - 1 = -4 - 1 = -5 \)

Теперь подставим \( x = -2 \) и \( y = -5 \) в уравнение прямой \( y = kx \):

\( -5 = k(-2) \)

\( k = \frac{-5}{-2} = 2.5 \)

В этом случае, если \( k = 2.5 \), прямая \( y = 2.5x \) проходит через точку \( (-2, -5) \), которая является «выколотой» точкой графика \( y = -x^2 - 1 \). Но при \( x = -2 \) исходная функция не определена. Точка \( (-2, -5) \) является общей для прямой \( y=2.5x \) и параболы \( y=-x^2-1 \). Однако, по условию, мы рассматриваем функцию \( y = \frac{(x^2 + 1)(x + 2)}{-2 - x} \), которая не определена в \( x = -2 \). Следовательно, точка \( (-2, -5) \) не является общей точкой с графиком исходной функции.

Нам нужно, чтобы уравнение \( x^2 + kx + 1 = 0 \) имело ровно одно решение, и это решение не было \( x = -2 \). Мы уже нашли, что \( k = & # \pm 2 \) дают ровно одно решение. Эти решения \( x = -1 \) и \( x = 1 \) не равны \( -2 \).

Рассмотрим также случай, когда \( k = 2.5 \). Уравнение \( x^2 + 2.5x + 1 = 0 \) имеет два корня:

\( x = \frac{-2.5 & # & \sqrt{2.5^2 - 4}}{2} = \frac{-2.5 & # & \sqrt{6.25 - 4}}{2} = \frac{-2.5 & # & \sqrt{2.25}}{2} = \frac{-2.5 & # & 1.5}{2} \)

\( x_1 = \frac{-2.5 + 1.5}{2} = \frac{-1}{2} = -0.5 \)

\( x_2 = \frac{-2.5 - 1.5}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \)

Когда \( k = 2.5 \), одно из решений \( x = -2 \). Но для исходной функции \( x \neq -2 \), поэтому это решение отбрасывается. Остается только \( x = -0.5 \). Таким образом, при \( k = 2.5 \) прямая \( y = 2.5x \) имеет ровно одну общую точку с графиком функции \( y = -x^2 - 1 \) при \( x \neq -2 \).

Итак, значения \( k \), при которых есть ровно одна общая точка, это \( k = 2 \), \( k = -2 \) и \( k = 2.5 \).

Ответ: \( k = -2, 2, 2.5 \).