Определите, при каких значениях k прямая y = kx не имеет с графиком общих точек.

Прямая \(y = kx\) проходит через начало координат \((0, 0)\).

Наш график функции:

\[ y = \begin{cases} -\frac{1}{x}, & x > 0, x
e \frac{2}{9} \\ \frac{1}{x}, & x < 0, x
e -\frac{2}{9} \end{cases} \]

1. Проверим пересечение с ветвью \(y = -\frac{1}{x}\) для \(x > 0\):

Приравниваем \(kx = -\frac{1}{x}\):

\[ kx^2 = -1 \implies x^2 = -\frac{1}{k} \]

Это уравнение имеет действительные решения для \(x > 0\) только при \(k < 0\).

Если \(k < 0\), то \(x = \sqrt{-\frac{1}{k}}\). Это положительное значение \(x\).

Нам нужно проверить, не совпадает ли это решение с выколотой точкой \(x = \frac{2}{9}\).

Если \(\sqrt{-\frac{1}{k}} = \frac{2}{9}\), то \(-\frac{1}{k} = (\frac{2}{9})^2 = \frac{4}{81}\), следовательно \(k = -\frac{81}{4}\).

Таким образом, при \(k < 0\) и \(k
e -\frac{81}{4}\) прямая \(y = kx\) пересекает ветвь \(y = -\frac{1}{x}\) в одной точке.

Если \(k = -\frac{81}{4}\), то \(x = \sqrt{-\frac{1}{-81/4}} = \sqrt{\frac{4}{81}} = \frac{2}{9}\). Но эта точка выколота на графике функции, поэтому пересечения нет.

Если \(k ≥ 0\), то \(x^2 = -\frac{1}{k}\) не имеет действительных решений для \(x > 0\).

2. Проверим пересечение с ветвью \(y = \frac{1}{x}\) для \(x < 0\):

Приравниваем \(kx = \frac{1}{x}\):

\[ kx^2 = 1 \]

Если \(k > 0\), то \(x^2 = \frac{1}{k}\) имеет два решения: \(x = ± \sqrt{\frac{1}{k}}\). Нас интересует отрицательный корень \(x = -\sqrt{\frac{1}{k}}\).

Нам нужно проверить, не совпадает ли это решение с выколотой точкой \(x = -\frac{2}{9}\).

Если \(-\sqrt{\frac{1}{k}} = -\frac{2}{9}\), то \(\sqrt{\frac{1}{k}} = \frac{2}{9}\), \(\frac{1}{k} = \frac{4}{81}\), следовательно \(k = \frac{81}{4}\).

Таким образом, при \(k > 0\) и \(k
e \frac{81}{4}\) прямая \(y = kx\) пересекает ветвь \(y = \frac{1}{x}\) в одной точке.

Если \(k = \frac{81}{4}\), то \(x = -\sqrt{\frac{1}{81/4}} = -\sqrt{\frac{4}{81}} = -\frac{2}{9}\). Но эта точка выколота на графике функции, поэтому пересечения нет.

Если \(k ≤ 0\), то \(x^2 = \frac{1}{k}\) не имеет действительных решений для \(x < 0\).

3. Проверим случай \(k=0\):

Прямая \(y = 0x\) это \(y=0\) (ось абсцисс). Наш график функции нигде не пересекает ось \(x\), так как \(-\frac{1}{x} = 0\) и \(\frac{1}{x} = 0\) не имеют решений. Таким образом, при \(k=0\) нет общих точек.

Итого:

Прямая \(y = kx\) имеет общие точки с графиком, если:

• \(k < 0\) и \(k
  e -\frac{81}{4}\) (одна точка пересечения с \(y = -\frac{1}{x}\))
• \(k > 0\) и \(k
  e \frac{81}{4}\) (одна точка пересечения с \(y = \frac{1}{x}\))

Прямая \(y = kx\) НЕ имеет общих точек с графиком, если:

• \(k = 0\) (ось \(x\) не пересекает гиперболы)
• \(k = -\frac{81}{4}\) (прямая проходит через выколотую точку \((\frac{2}{9}, -4.5)\))
• \(k = \frac{81}{4}\) (прямая проходит через выколотую точку \((-\frac{2}{9}, -4.5)\))
• \(k < 0\) (нет решений для \(x > 0\))
• \(k > 0\) (нет решений для \(x < 0\))

Нам нужно найти значения \(k\), при которых прямая \(y = kx\) НЕ имеет общих точек с графиком. Это происходит, когда прямая проходит через выколотые точки или когда она параллельна осям, которые не пересекают график.

Выколотые точки: \(A(\frac{2}{9}, -4.5)\) и \(B(-\frac{2}{9}, -4.5)\).

Для точки A, \(k = \frac{y}{x} = \frac{-4.5}{2/9} = \frac{-9/2}{2/9} = -\frac{9}{2} \cdot \frac{9}{2} = -\frac{81}{4}\).

Для точки B, \(k = \frac{y}{x} = \frac{-4.5}{-2/9} = \frac{9/2}{2/9} = \frac{9}{2} \cdot \frac{9}{2} = \frac{81}{4}\).

Кроме того, прямая \(y=kx\) всегда проходит через \((0,0)\). График функции не определен в \((0,0)\) (там вертикальные асимптоты), поэтому \(y=kx\) не может пересечься с графиком в \((0,0)\).

Значит, прямая \(y=kx\) не имеет общих точек с графиком, когда она проходит через выколотые точки.

Ответ: \(k = \frac{81}{4}\) и \(k = -\frac{81}{4}\).