Определите, при каких значениях m прямая y=m и график данной функции: а) не имеют общих точек; б) имеют ровно одну общую точку; в) имеют ровно две общие точки. y = -x - 2, если x < -1 y = 2x + 1, если x >= -1

Разбор задачи:

Привет! Давай разберем эту задачку по графическому представлению функций. Нам нужно понять, сколько общих точек имеет прямая y = m (это горизонтальная линия) с графиком нашей кусочно-заданной функции. График состоит из двух частей:

1. y = -x - 2 при x < -1: Это часть прямой линии. Чтобы построить её, возьмем точку x = -1. Значение y будет -(-1) - 2 = 1 - 2 = -1. То есть, крайняя точка будет (-1, -1), но сама точка x = -1 не включается (выколотая точка). Угол наклона этой прямой -1 (она идет вниз).
2. y = 2x + 1 при x >= -1: Это тоже часть прямой линии. При x = -1, значение y будет 2*(-1) + 1 = -2 + 1 = -1. Эта точка (-1, -1) включается в график (закрашенная точка). Угол наклона этой прямой 2 (она идет вверх).

Теперь посмотрим, как горизонтальная линия y = m может пересекать этот график:

Анализ пересечений:

• Случай а) Нет общих точек: Горизонтальная линия y = m не будет иметь общих точек с графиком, если она пройдет ниже самой нижней точки графика. Самая нижняя точка, которую мы нашли, это (-1, -1). Если m будет меньше -1, то общих точек не будет.
• Случай б) Одна общая точка: Одна общая точка будет в двух случаях:
  1. Если m = -1. В этом случае горизонтальная линия y = -1 пройдет точно через единственную точку (-1, -1), которая является началом обеих частей графика.
  2. Если m будет находиться между значением y первой части графика (которая стремится к -1, но не достигает его) и значением y второй части графика (которая начинается с -1 и идет вверх). Но так как обе части графика в точке x=-1 сходятся в одной точке y=-1, то единственная общая точка будет только при m = -1.
• Случай в) Две общие точки: Две общие точки будут, если горизонтальная линия y = m пройдет выше точки (-1, -1). Это значит, что m должно быть больше -1. В этом случае линия пересечет и ту часть графика, которая идет вниз (y = -x - 2), и ту, что идет вверх (y = 2x + 1).

Выводы:

а) Нет общих точек: когда m < -1.

б) Одна общая точка: когда m = -1.

в) Две общие точки: когда m > -1.