Определите промежутки монотонности функции: y = x³ - 12x² + 36x + 23.

Решение:

Для определения промежутков монотонности функции найдём её производную:

\( y' = (x^3 - 12x^2 + 36x + 23)' \)

\( y' = 3x^2 - 24x + 36 \)

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( 3x^2 - 24x + 36 = 0 \)

Разделим уравнение на 3:

\( x^2 - 8x + 12 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \):

\( D = (-8)^2 - 4 · 1 · 12 = 64 - 48 = 16 \)

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-b + ·√{D}}{2a} = \frac{8 + ·√{16}}{2 · 1} = \frac{8 + 4}{2} = \frac{12}{2} = 6 \)

\( x_2 = \frac{-b - ·√{D}}{2a} = \frac{8 - ·√{16}}{2 · 1} = \frac{8 - 4}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)

Критические точки: \( x=2 \) и \( x=6 \).

Теперь определим знаки производной на интервалах:

• При \( x < 2 \), например, \( x=0 \): \( y' = 3(0)^2 - 24(0) + 36 = 36 > 0 \) (функция возрастает).
• При \( 2 < x < 6 \), например, \( x=3 \): \( y' = 3(3)^2 - 24(3) + 36 = 27 - 72 + 36 = -9 < 0 \) (функция убывает).
• При \( x > 6 \), например, \( x=7 \): \( y' = 3(7)^2 - 24(7) + 36 = 3(49) - 168 + 36 = 147 - 168 + 36 = 15 > 0 \) (функция возрастает).

Ответ: Функция возрастает на интервалах \( (-∞; 2] \) и \( [6; +∞) \). Функция убывает на интервале \( [2; 6] \).