Определите, сколько корней уравнения \(2\cos 2x+7\cos x-4=0\) принадлежит отрезку \([-2\pi;3\pi]\).

Используем формулу \(\cos 2x=2\cos^2 x-1\):

\(2(2\cos^2 x-1)+7\cos x-4=0\), поэтому \(4\cos^2 x+7\cos x-6=0\).

Обозначим \(t=\cos x\). Тогда \(4t^2+7t-6=0\), откуда \(t=\frac{-7\pm\sqrt{145}}{8}\). Значение \(\frac{-7-\sqrt{145}}{8}<-1\) не может быть косинусом. Остаётся \(\cos x=\frac{\sqrt{145}-7}{8}\), где правая часть находится между \(-1\) и \(1\).

Пусть \(\alpha=\arccos\left(\frac{\sqrt{145}-7}{8}\right)\), тогда \(0<\alpha<\pi\), а решения имеют вид \(x=\pm\alpha+2\pi k\), где \(k\) — целое число.

На отрезке \([-2\pi;3\pi]\) находятся решения \(-2\pi+\alpha\), \(-\alpha\), \(\alpha\), \(2\pi-\alpha\), \(2\pi+\alpha\). Итого 5 корней.

Ответ: 5.