Определите следующие показатели (в качестве разделителя десятичной дроби используйте точку): Объем генеральной совокупности Объем выборки Среднее число детей в семье в выборочной совокупности составляет Дисперсия численности детей в выборке С вероятностью 0.997 (t = 3) можно утверждать, что среднее число детей в генеральной совокупности будет в пределах от ______ до ______ человек.

Решение:

1. Объем генеральной совокупности:

В городе проживает 40000 семей. Это общее количество семей, из которых была взята выборка.

\( N = 40000 \) семей.

2. Объем выборки:

Объем выборки — это сумма семей, попавших в выборку.

\( n = 400 + 800 + 600 + 160 + 100 + 20 = 2080 \) семей.

3. Среднее число детей в семье в выборочной совокупности:

Среднее арифметическое рассчитывается как сумма произведений числа детей на количество семей, деленная на общий объем выборки.

\( \overline{x} = \frac{\sum x_i \cdot n_i}{n} = \frac{0 \cdot 400 + 1 \cdot 800 + 2 \cdot 600 + 3 \cdot 160 + 4 \cdot 100 + 5 \cdot 20}{2080} \)

\( \overline{x} = \frac{0 + 800 + 1200 + 480 + 400 + 100}{2080} = \frac{2980}{2080} \approx 1.433 \) ребенка на семью.

4. Дисперсия численности детей в выборке:

Сначала найдем среднее арифметическое по формуле:

\( \overline{x} = 1.433 \)

Затем найдем дисперсию по формуле:

\( D_x = \frac{\sum (x_i - \overline{x})^2 \cdot n_i}{n} \)

\( D_x = \frac{(0 - 1.433)^2 \cdot 400 + (1 - 1.433)^2 \cdot 800 + (2 - 1.433)^2 \cdot 600 + (3 - 1.433)^2 \cdot 160 + (4 - 1.433)^2 \cdot 100 + (5 - 1.433)^2 \cdot 20}{2080} \)

\( D_x = \frac{(-1.433)^2 \cdot 400 + (-0.433)^2 \cdot 800 + (0.567)^2 \cdot 600 + (1.567)^2 \cdot 160 + (2.567)^2 \cdot 100 + (3.567)^2 \cdot 20}{2080} \)

\( D_x = \frac{2.053 \cdot 400 + 0.187 \cdot 800 + 0.321 \cdot 600 + 2.455 \cdot 160 + 6.589 \cdot 100 + 12.723 \cdot 20}{2080} \)

\( D_x = \frac{821.2 + 149.6 + 192.6 + 392.8 + 658.9 + 254.46}{2080} = \frac{2470.56}{2080} \approx 1.188 \)

5. Доверительный интервал:

С вероятностью 0.997 (t = 3) можно утверждать, что среднее число детей в генеральной совокупности будет в пределах от:

\( \overline{x} \pm t \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \) — для оценки среднего генеральной совокупности.

Однако, поскольку известна дисперсия выборки, а генеральная совокупность велика, мы можем использовать следующую формулу для интервала:

\( \overline{x} \pm t \cdot \sqrt{\frac{D_x}{n}} \)

\( 1.433 \pm 3 \cdot \sqrt{\frac{1.188}{2080}} \)

\( 1.433 \pm 3 \cdot \sqrt{0.000571} \)

\( 1.433 \pm 3 \cdot 0.0239 \)

\( 1.433 \pm 0.0717 \)

Нижняя граница: \( 1.433 - 0.0717 = 1.3613 \)

Верхняя граница: \( 1.433 + 0.0717 = 1.5047 \)

Округлим до тысячных.

Ответ:

Объем генеральной совокупности: 40000

Объем выборки: 2080

Среднее число детей в семье в выборочной совокупности составляет: 1.433

Дисперсия численности детей в выборке: 1.188

С вероятностью 0.997 (t = 3) можно утверждать, что среднее число детей в генеральной совокупности будет в пределах от 1.361 до 1.505 человек.