Определите тип фигуры ABCD EF, изображенной на клетчатой бумаге, и найдите ее площадь. Ответ обоснуйте.

Решение:

На рисунке изображен шестиугольник ABCDEF. Проведем из вершины F перпендикуляр к прямой AB. Получится прямоугольный треугольник AFG, где G — точка на прямой AB. Аналогично проведем перпендикуляр из вершины E к прямой CD, получим прямоугольный треугольник CDH, где H — точка на прямой CD.

Рассмотрим координатную плоскость. Примем сторону одной клетки за единицу измерения.

Координаты вершин:

• A: (0, 2)
• B: (5, 4)
• C: (7, 3)
• D: (6, 1)
• E: (4, 1)
• F: (2, 0)

Для нахождения площади шестиугольника воспользуемся методом разбиения на простые фигуры или методом вычитания площадей из площади описанного прямоугольника. Разделим шестиугольник на прямоугольник и треугольники.

Другой способ: разбить на трапеции и треугольники, опираясь на оси координат.

Вычислим площадь, используя формулу площади многоугольника по координатам его вершин:

$$ S = \frac{1}{2} |(x_1y_2 + x_2y_3 + ... + x_ny_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + ... + y_nx_1)| $$

$$ S = \frac{1}{2} |(0 · 4 + 5 · 3 + 7 · 1 + 6 · 1 + 4 · 0 + 2 · 2) - (2 · 5 + 4 · 7 + 3 · 6 + 1 · 4 + 1 · 2 + 0 · 0)|$$

$$ S = \frac{1}{2} |(0 + 15 + 7 + 6 + 0 + 4) - (10 + 28 + 18 + 4 + 2 + 0)|$$

$$ S = \frac{1}{2} |28 - 62|$$

$$ S = \frac{1}{2} |-34|$$

$$ S = 17 $$

Фигура не является правильным или знакомым многоугольником (например, параллелограммом, трапецией). Ее можно назвать произвольным шестиугольником.

Ответ: Площадь фигуры равна 17 квадратным единицам. Фигура является произвольным шестиугольником.