Определите тип треугольника АВС, если известны значения следующих скалярных произведений: • AB · AC = 9, BẢ. BC = 8, CACB = 17.

Давай определим тип треугольника ABC, используя известные скалярные произведения. Нам даны: 1. $$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 9$$ 2. $$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = 8$$ 3. $$\vec{CA} \cdot \vec{CB} = 17$$ Вспомним, что скалярное произведение двух векторов можно выразить через их длины и угол между ними: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = |a| |b| \cos(\theta)$$, где $$\theta$$ - угол между векторами a и b. Заметим, что $$\vec{BA} = -\vec{AB}$$ и $$\vec{CA} = -\vec{AC}$$, $$\vec{CB} = -\vec{BC}$$. Тогда перепишем данные: 1. $$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 9$$ 2. $$-\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 8$$, то есть $$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = -8$$ 3. $$-\vec{AC} \cdot -\vec{BC} = 17$$, то есть $$\vec{AC} \cdot \vec{BC} = 17$$ Чтобы определить углы треугольника, воспользуемся теоремой косинусов. Пусть a, b, c - длины сторон BC, AC, AB соответственно, а $$\alpha, \beta, \gamma$$ - углы, противолежащие сторонам a, b, c. Тогда: * $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha)$$ * $$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(\beta)$$ * $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$$ Используем также формулу скалярного квадрата: $$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$$. 1. $$\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$$, тогда $$|\vec{BC}|^2 = |\vec{AC} - \vec{AB}|^2 = |\vec{AC}|^2 + |\vec{AB}|^2 - 2(\vec{AC} \cdot \vec{AB})$$ $$a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot 9$$ 2. $$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$$, тогда $$|\vec{AC}|^2 = |\vec{AB} + \vec{BC}|^2 = |\vec{AB}|^2 + |\vec{BC}|^2 + 2(\vec{AB} \cdot \vec{BC})$$ $$b^2 = c^2 + a^2 + 2 \cdot (-8)$$ 3. $$\vec{AB} = \vec{AC} - \vec{BC}$$, тогда $$|\vec{AB}|^2 = |\vec{AC} - \vec{BC}|^2 = |\vec{AC}|^2 + |\vec{BC}|^2 - 2(\vec{AC} \cdot \vec{BC})$$ $$c^2 = b^2 + a^2 - 2 \cdot 17$$ Выразим $$a^2, b^2, c^2$$: 1. $$a^2 = b^2 + c^2 - 18$$ 2. $$b^2 = a^2 + c^2 - 16$$ 3. $$c^2 = a^2 + b^2 - 34$$ Подставим (1) и (2) в (3): $$c^2 = (b^2 + c^2 - 18) + (a^2 + c^2 - 16) - c^2 - 34$$ $$0 = c^2 - 68$$ $$c^2 = 68$$ Подставим (1) и (3) в (2): $$b^2 = a^2 + (a^2 + b^2 - 34) - 16$$ $$0 = 2a^2 - 50$$ $$a^2 = 25$$ Подставим (2) и (3) в (1): $$a^2 = (a^2 + c^2 - 16) + (a^2 + b^2 - 34) - c^2 - 18$$ $$0 = 2 a^2 + b^2 - 68$$ $$b^2 = 68 - 2a^2 = 68 - 2 \cdot 25 = 68 - 50 = 18$$ Итак, $$a^2 = 25$$, $$b^2 = 18$$, $$c^2 = 68$$. Тогда $$a = 5$$, $$b = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$, $$c = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$$. Теперь найдем косинусы углов: $$\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{18 + 68 - 25}{2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{17}} = \frac{61}{12\sqrt{34}}$$ $$\cos(\beta) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{25 + 68 - 18}{2 \cdot 5 \cdot 2\sqrt{17}} = \frac{75}{20\sqrt{17}} = \frac{15}{4\sqrt{17}}$$ $$\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{25 + 18 - 68}{2 \cdot 5 \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{-25}{30\sqrt{2}} = -\frac{5}{6\sqrt{2}} < 0$$ Так как $$\cos(\gamma) < 0$$, угол $$\gamma$$ - тупой. Следовательно, треугольник ABC - тупоугольный.

Ответ: тупоугольный