Определите, вписана ли окружность в угол (см. рис.), при следующих условиях.

Решение:

Чтобы окружность была вписана в угол, центр окружности должен находиться на биссектрисе угла, а радиусы, проведенные в точки касания, должны быть перпендикулярны сторонам угла. Также радиусы окружности должны быть равны.

Проанализируем каждое условие:

1. Условие:
       < BEO = 90° и < BCO = 90°
       EO = 5 см и OC = 5 см

Анализ:

В этом случае EO и OC являются радиусами, и они равны (5 см). Углы BEO и BCO равны 90°, что означает, что EO и OC перпендикулярны сторонам угла BE и BC соответственно. Это условие выполняется, если окружность вписана в угол.

2. Условие:
       < EBO = 30° и < OBC = 40°
       EO = 5 см и OC = 5 см

Анализ:

В этом случае радиусы EO и OC равны (5 см), и углы касания равны 90° (подразумевается из рисунка, где EO и OC перпендикулярны сторонам угла). Однако, углы EBO (30°) и OBC (40°) не равны. Если бы окружность была вписана в угол, то биссектриса угла (BO) делила бы его на два равных угла, то есть < EBO = < OBC. Это условие не выполняется.

3. Условие:
       < EBO = < OBC
       EO = 5 см и OC = 5 см

Анализ:

Здесь указано, что < EBO = < OBC, что означает, что BO является биссектрисой угла ABC. Также радиусы EO и OC равны (5 см). Если предположить, что EO и OC перпендикулярны сторонам угла (что следует из определения касательной), то это условие достаточно для того, чтобы окружность была вписана в угол.

4. Условие:
       < EBO = < OBC
       EO = 6 см и OC = 5 см

Анализ:

Здесь < EBO = < OBC, но радиусы EO (6 см) и OC (5 см) не равны. Так как радиусы должны быть равны, это условие не выполняется.

Ключевые признаки вписанной окружности:

• Центр окружности лежит на биссектрисе угла.
• Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны сторонам угла.
• Все радиусы окружности равны.

Исходя из этих признаков, окружность вписана в угол при первом и третьем условиях.

Итоговый выбор:

• Условие 1: Да
• Условие 2: Нет
• Условие 3: Да
• Условие 4: Нет

Ответ: При первом и третьем условиях.