Определите, является ли параллелограммом четырёхугольник ABCD, если: a) A(-1; 3; −4), B(-2; 3; 4), C(-5; 3; -2), D(-4; 3; -10); б) A(1; -2; -3), B(-3; 2; 1), C(-5; 4; 3), D(-1; 3; −1); в) А(-1; 2; -3), B(-2; 3; −4), C(5; -2; -2), D(4; -1; -3).

Разбираемся:

Пошаговое решение:

Для начала вспомним, что векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{DC}\) должны быть равны, то есть их координаты должны быть равны. Аналогично, векторы \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{AD}\) тоже должны быть равны.

а)

• \(\overrightarrow{AB} = (-2 - (-1); 3 - 3; 4 - (-4)) = (-1; 0; 8)\)
• \(\overrightarrow{DC} = (-5 - (-4); 3 - 3; -2 - (-10)) = (-1; 0; 8)\)
• \(\overrightarrow{BC} = (-5 - (-2); 3 - 3; -2 - 4) = (-3; 0; -6)\)
• \(\overrightarrow{AD} = (-4 - (-1); 3 - 3; -10 - (-4)) = (-3; 0; -6)\)

Векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{DC}\) равны, векторы \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{AD}\) равны. Значит, ABCD - параллелограмм.

б)

• \(\overrightarrow{AB} = (-3 - 1; 2 - (-2); 1 - (-3)) = (-4; 4; 4)\)
• \(\overrightarrow{DC} = (-5 - (-1); 4 - 3; 3 - (-1)) = (-4; 1; 4)\)
• \(\overrightarrow{BC} = (-5 - (-3); 4 - 2; 3 - 1) = (-2; 2; 2)\)
• \(\overrightarrow{AD} = (-1 - 1; 3 - (-2); -1 - (-3)) = (-2; 5; 2)\)

Векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{DC}\) не равны, векторы \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{AD}\) тоже не равны. Значит, ABCD - не параллелограмм.

в)

• \(\overrightarrow{AB} = (-2 - (-1); 3 - 2; -4 - (-3)) = (-1; 1; -1)\)
• \(\overrightarrow{DC} = (5 - 4; -2 - (-1); -2 - (-3)) = (1; -1; 1)\)
• \(\overrightarrow{BC} = (5 - (-2); -2 - 3; -2 - (-4)) = (7; -5; 2)\)
• \(\overrightarrow{AD} = (4 - (-1); -1 - 2; -3 - (-3)) = (5; -3; 0)\)

Векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{DC}\) не равны, векторы \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{AD}\) тоже не равны. Значит, ABCD - не параллелограмм.

Ответ: a) является параллелограммом, б) не является параллелограммом, в) не является параллелограммом.