Определите значение выражения: \(k = 3 \sqrt[n]{m \cdot \sqrt[n]{m^{1/2}}} \cdot 10\)

Решение:

Для определения значения выражения, необходимо упростить его.

1. Выделим корень внутри выражения: \( \sqrt[n]{m^{1/2}} \).
2. Упростим его: \( m^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n}} = m^{\frac{1}{2n}} \).
3. Подставим полученное значение обратно в выражение: \( \sqrt[n]{m \cdot m^{\frac{1}{2n}}} \).
4. Сложим показатели степени: \( m^{1 + \frac{1}{2n}} = m^{\frac{2n+1}{2n}} \).
5. Возьмём корень \( n \)-ой степени: \( \sqrt[n]{m^{\frac{2n+1}{2n}}} = m^{\frac{2n+1}{2n \cdot n}} = m^{\frac{2n+1}{2n^2}} \).
6. Теперь подставим упрощённое выражение в исходное: \( k = 3 \cdot m^{\frac{2n+1}{2n^2}} \cdot 10 \).
7. Окончательно упростим: \( k = 30 \cdot m^{\frac{2n+1}{2n^2}} \).

Ответ: \( k = 30 m^{\frac{2n+1}{2n^2}} \).