Определите значение выражения: \( \text{arcctg}(\text{tg}(\frac{43\pi}{8})) \)

Решение:

Для определения значения выражения \( \text{arcctg}(\text{tg}(\frac{43\pi}{8})) \) воспользуемся свойствами арккотангенса и тангенса.

1. Упростим аргумент тангенса: \( \frac{43\pi}{8} \). Так как тангенс является периодической функцией с периодом \( \pi \), мы можем вычесть целое число \( \pi \) из аргумента, не изменяя значения функции. \( \frac{43\pi}{8} = \frac{40\pi + 3\pi}{8} = 5\pi + \frac{3\pi}{8} \).
2. Следовательно, \( \text{tg}(\frac{43\pi}{8}) = \text{tg}(5\frac{3
   }{8}) = \text{tg}(\frac{3
   }{8}) \).
3. Теперь выражение имеет вид \( \text{arcctg}(\text{tg}(\frac{3
   }{8})) \).
4. Свойство арккотангенса и тангенса: \( \text{arcctg}(\text{tg}(x)) = x \) при \( x \in (0, \frac{\pi}{2}) \).
5. Наш аргумент \( \frac{3\pi}{8} \) находится в интервале \( (0, \frac{\pi}{2}) \), так как \( 0 < \frac{3}{8} < \frac{1}{2} \).
6. Таким образом, \( \text{arcctg}(\text{tg}(\frac{3\pi}{8})) = \frac{3\pi}{8} \).

Ответ: \( \frac{3\pi}{8} \).