Определитель Вронского для дифференциального уравнения\(\frac{d^2x}{dt^2} + 9x = 0\) равен

Решение:

Определитель Вронского (или Вронскиан) для дифференциального уравнения вида \( y'' + p(t)y' + q(t)y = 0 \) вычисляется по формуле \( W(t) = y_1(t) y_2'(t) - y_1'(t) y_2(t) \), где \( y_1(t) \) и \( y_2(t) \) — два линейно независимых решения уравнения.

Данное уравнение имеет вид \( \frac{d^2x}{dt^2} + 9x = 0 \). Здесь \( p(t) = 0 \) и \( q(t) = 9 \).

Характеристическое уравнение: \( r^2 + 9 = 0 \).

Корни характеристического уравнения: \( r^2 = -9 \Rightarrow r = \pm \sqrt{-9} = \pm 3i \).

Поскольку корни комплексные \( r = \alpha \pm \beta i \) с \( \alpha = 0 \) и \( \beta = 3 \), общим решением является:

\[ x(t) = e^{\alpha t} (C_1 \cos(\beta t) + C_2 \sin(\beta t)) \]

\[ x(t) = C_1 \cos(3t) + C_2 \sin(3t) \]

Два линейно независимых решения:

\( y_1(t) = \cos(3t) \)

\( y_2(t) = \sin(3t) \)

Найдем их производные:

\( y_1'(t) = -3\sin(3t) \)

\( y_2'(t) = 3\cos(3t) \)

Теперь вычислим определитель Вронского:

\[ W(t) = y_1(t) y_2'(t) - y_1'(t) y_2(t) \]

\[ W(t) = (\cos(3t))(3\cos(3t)) - (-3\sin(3t))(\sin(3t)) \]

\[ W(t) = 3\cos^2(3t) + 3\sin^2(3t) \]

\[ W(t) = 3(\cos^2(3t) + \sin^2(3t)) \]

Используя основное тригонометрическое тождество \( \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1 \), получаем:

\[ W(t) = 3(1) = 3 \]

Ответ: 3.