9.3. ОПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ ВАРИАНТ 4 1. Электромагнитная волна имеет частоту колебаний 300 ТГц. Определите длину этой волны в вакууме. 2. Фокусное расстояние линзы F = 10 см. Какая это линза? Какова ее оптическая сила? 3. При каком угле падения луча на зеркало падающий и отраженный лучи совпадают? 4. Высота Солнца над горизонтом составляет 39°. Как следует расположить плоское зеркало, чтобы осветить солнечными лучами дно вертикального колодца? 5. Длина тени от отвесно поставленной метровой линейки равна 50 см, а от дерева 6 м. Какова высота дерева? 6. На сколько сократится расстояние между человеком и плоским зеркалом, если он приблизится к зеркалу на расстояние 1 м? 7. Расстояние между электрической лампочкой и экраном равно 1 м. При каких положениях собирающей линзы с фокусным расстоянием 21 см изображение нити лампочки будет отчетливым? 8. Имеются две линзы: собирающая с фокусным расстоянием F1 = 20 см и рассеивающая с оптической силой D₂ = −8 дптр. Чему равна оптическая сила этой системы линз? 9. Как изменится угол между падающим и отраженным лучами, если, угол падения луча на плоское зеркало уменьшить от 60 до 30°?

Решение задач по оптике

1. Длина волны

Частота колебаний электромагнитной волны \[
u = 300 \,\text{ТГц} = 300 \times 10^{12} \,\text{Гц} \]. Скорость света в вакууме \[ c = 3 \times 10^8 \,\text{м/с} \]. Длина волны \[ \lambda \] определяется формулой:

\[ \lambda = \frac{c}{
u} \]

Подставляем значения:

\[ \lambda = \frac{3 \times 10^8 \,\text{м/с}}{300 \times 10^{12} \,\text{Гц}} = \frac{3 \times 10^8}{3 \times 10^{14}} \,\text{м} = 10^{-6} \,\text{м} = 1 \,\text{мкм} \]

Ответ: Длина волны равна 1 мкм.

2. Фокусное расстояние линзы

Фокусное расстояние линзы \[ F = 10 \,\text{см} = 0.1 \,\text{м} \]. Так как фокусное расстояние положительное, это собирающая линза.

Оптическая сила линзы \[ D \] определяется как обратная величина фокусного расстояния:

\[ D = \frac{1}{F} \]

Подставляем значение:

\[ D = \frac{1}{0.1 \,\text{м}} = 10 \,\text{дптр} \]

Ответ: Это собирающая линза с оптической силой 10 дптр.

3. Угол падения и отражения

Угол падения луча на зеркало равен углу отражения. Чтобы падающий и отраженный лучи совпадали, они должны быть перпендикулярны поверхности зеркала. В этом случае угол падения равен 0°.

Ответ: Угол падения должен быть 0°.

4. Расположение зеркала

Чтобы осветить дно вертикального колодца, плоское зеркало нужно расположить так, чтобы угол падения солнечных лучей на зеркало был равен углу отражения, и отраженные лучи направлялись вертикально вниз. Угол между горизонтом и направлением на Солнце составляет 39°. Значит, угол падения солнечных лучей на горизонтальную поверхность равен 39°. Чтобы отразить лучи вертикально вниз, зеркало нужно расположить под углом, равным половине угла между падающими и отраженными лучами, то есть под углом \[ \frac{90° - 39°}{2} = 25.5° \] к вертикали.

Ответ: Зеркало следует расположить под углом 25.5° к вертикали.

5. Высота дерева

Длина тени от метровой линейки \[ h_1 = 1 \,\text{м} \] равна 50 см, то есть \[ l_1 = 0.5 \,\text{м} \]. Длина тени от дерева \[ l_2 = 6 \,\text{м} \]. Отношение высоты объекта к длине его тени одинаково для обоих объектов:

\[ \frac{h_1}{l_1} = \frac{h_2}{l_2} \]

Высота дерева \[ h_2 \] равна:

\[ h_2 = \frac{h_1 \cdot l_2}{l_1} = \frac{1 \,\text{м} \cdot 6 \,\text{м}}{0.5 \,\text{м}} = 12 \,\text{м} \]

Ответ: Высота дерева равна 12 м.

6. Сокращение расстояния

Если человек приблизится к зеркалу на расстояние 1 м, то расстояние между человеком и его изображением сократится на 2 м, так как изображение также приблизится на 1 м.

Ответ: Расстояние сократится на 2 м.

7. Положения линзы

Расстояние между лампочкой и экраном \[ L = 1 \,\text{м} = 100 \,\text{см} \]. Фокусное расстояние линзы \[ f = 21 \,\text{см} \]. Уравнение линзы:

\[ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} \]

где \[ d \] – расстояние от лампочки до линзы, \[ f \] – расстояние от линзы до экрана.

Так как \[ d + f = L \], то \[ f = L - d \]. Подставляем в уравнение линзы:

\[ \frac{1}{d} + \frac{1}{L - d} = \frac{1}{F} \] \[ \frac{L - d + d}{d(L - d)} = \frac{1}{F} \] \[ \frac{L}{d(L - d)} = \frac{1}{F} \] \[ L \cdot F = d \cdot (L - d) \] \[ L \cdot F = dL - d^2 \] \[ d^2 - Ld + LF = 0 \]

Решаем квадратное уравнение относительно \[ d \]:

\[ d = \frac{L \pm \sqrt{L^2 - 4LF}}{2} \]

Подставляем значения:

\[ d = \frac{100 \,\text{см} \pm \sqrt{(100 \,\text{см})^2 - 4 \cdot 100 \,\text{см} \cdot 21 \,\text{см}}}{2} \] \[ d = \frac{100 \,\text{см} \pm \sqrt{10000 \,\text{см}^2 - 8400 \,\text{см}^2}}{2} \] \[ d = \frac{100 \,\text{см} \pm \sqrt{1600 \,\text{см}^2}}{2} \] \[ d = \frac{100 \,\text{см} \pm 40 \,\text{см}}{2} \]

Получаем два значения для \[ d \]:

\[ d_1 = \frac{100 \,\text{см} + 40 \,\text{см}}{2} = 70 \,\text{см} \] \[ d_2 = \frac{100 \,\text{см} - 40 \,\text{см}}{2} = 30 \,\text{см} \]

Если \[ d = 70 \,\text{см} \], то \[ f = 100 \,\text{см} - 70 \,\text{см} = 30 \,\text{см} \].

Если \[ d = 30 \,\text{см} \], то \[ f = 100 \,\text{см} - 30 \,\text{см} = 70 \,\text{см} \].

Ответ: Изображение будет отчетливым при положениях линзы 30 см и 70 см от лампочки.

8. Оптическая сила системы линз

Оптическая сила первой линзы (собирающей) с фокусным расстоянием \[ F_1 = 20 \,\text{см} = 0.2 \,\text{м} \] равна:

\[ D_1 = \frac{1}{F_1} = \frac{1}{0.2 \,\text{м}} = 5 \,\text{дптр} \]

Оптическая сила второй линзы (рассеивающей) \[ D_2 = -8 \,\text{дптр} \]. Общая оптическая сила системы линз равна сумме оптических сил отдельных линз:

\[ D = D_1 + D_2 = 5 \,\text{дптр} + (-8 \,\text{дптр}) = -3 \,\text{дптр} \]

Ответ: Оптическая сила системы линз равна -3 дптр.

9. Изменение угла

Угол между падающим и отраженным лучами равен удвоенному углу падения. Если угол падения уменьшится от 60° до 30°, то угол между падающим и отраженным лучами уменьшится на:

\[ 2 \cdot (60° - 30°) = 2 \cdot 30° = 60° \]

Ответ: Угол между падающим и отраженным лучами уменьшится на 60°.

Ответ:

Ты отлично справился с этими задачами! Поздравляю! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!