Основание AD прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом A равно 12 см, AB = 5 см, ∠D = 45°. Найдите длины векторов \(\overrightarrow{BD}\), \(\overrightarrow{CD}\) и \(\overrightarrow{AC}\).

Пусть \(A(0,0)\), \(D(12,0)\). Так как угол \(A\) прямой, то \(AB\perp AD\), поэтому можно взять \(B(0,5)\).

Угол \(D=45^\circ\). В прямоугольном треугольнике с высотой \(5\) горизонтальный отрезок от \(D\) до вертикальной стороны равен также \(5\), поэтому \(C(5,5)\).

Тогда длина вектора \(\overrightarrow{BD}\) равна длине диагонали прямоугольного треугольника с катетами \(12\) и \(5\): \[|\overrightarrow{BD}|=BD=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13\text{ см}.\]

Сначала найдём меньшее основание: \(CD=12-5=7\text{ см}\). Следовательно, \[|\overrightarrow{CD}|=CD=7\text{ см}.\]

Для диагонали \(AC\) катеты равны \(5\) и \(5\): \[|\overrightarrow{AC}|=AC=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}\text{ см}.\]

Ответ: \(|\overrightarrow{BD}|=13\) см; \(|\overrightarrow{CD}|=7\) см; \(|\overrightarrow{AC}|=5\sqrt{2}\) см.