Основание AD трапеции ABCD в 3 раза больше основания BC. На стороне AD отмечена такая точка K, что AK = 1/3 AD. Выразите векторы CK, KD и BC через векторы a = BA и b = CD.

Обозначим \(\overrightarrow{BC}=\vec{x}\). Поскольку основания трапеции параллельны, а направления векторов \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{BC}\) противоположны, имеем \(\overrightarrow{AD}=-3\vec{x}\).

Обойдём четырёхугольник по контуру: \(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}=\vec{0}\). Подставляем \(\vec a=\overrightarrow{BA}\), \(\overrightarrow{DC}=-\vec b\), \(\overrightarrow{CB}=-\vec{x}\) и \(\overrightarrow{AD}=-3\vec{x}\):

\(\vec a-3\vec{x}-\vec b-\vec{x}=\vec{0}\), откуда \(\vec{x}=\dfrac{\vec a-\vec b}{4}\). Следовательно, \(\overrightarrow{BC}=\dfrac{\vec a-\vec b}{4}\).

Так как \(\overrightarrow{AK}=\dfrac13\overrightarrow{AD}=-\vec{x}\), получаем:

\(\overrightarrow{KD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AK}=-3\vec{x}-(-\vec{x})=-2\vec{x}=\dfrac{\vec b-\vec a}{2}\).

Для вектора \(\overrightarrow{CK}\): \(\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}=-\vec{x}+\vec a\), поэтому

\(\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AK}=\vec a-2\vec{x}=\dfrac{\vec a+\vec b}{2}\).

Ответ: \(\overrightarrow{CK}=\dfrac{\vec a+\vec b}{2},\quad \overrightarrow{KD}=\dfrac{\vec b-\vec a}{2},\quad \overrightarrow{BC}=\dfrac{\vec a-\vec b}{4}\).