Основание прямой призмы — треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом в 120° между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 56 см². Найти площадь полной поверхности призмы.

Для решения этой задачи нам потребуется найти площадь основания призмы и площади всех боковых граней.

1. Найдём площадь основания призмы:

Основание призмы — треугольник со сторонами a = 5 см, b = 3 см и углом γ = 120° между ними. Площадь треугольника можно найти по формуле:

$$ S = \frac{1}{2}ab\sin(\gamma) $$

Подставим значения:

$$ S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 \cdot \sin(120^\circ) = \frac{15}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4} \approx 6.495 \text{ см}^2 $$

Так как призма имеет два основания, общая площадь оснований равна:

$$ 2S = 2 \cdot \frac{15\sqrt{3}}{4} = \frac{15\sqrt{3}}{2} \approx 12.99 \text{ см}^2 $$
2. Найдём высоту призмы:

Наибольшая площадь боковой грани равна 56 см². Поскольку боковые грани являются прямоугольниками, наибольшая площадь соответствует наибольшей стороне основания. Большая сторона основания равна 5 см. Пусть h — высота призмы. Тогда:

$$ 5h = 56 $$ $$ h = \frac{56}{5} = 11.2 \text{ см} $$
3. Найдём площади боковых граней:

У нас есть три боковые грани с площадями:

• S₁ = 5 см * 11.2 см = 56 см²
• S₂ = 3 см * 11.2 см = 33.6 см²
• S₃ = c * 11.2 см, где c – третья сторона треугольника в основании.

Чтобы найти c, используем теорему косинусов:

$$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma) $$ $$ c^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos(120^\circ) = 25 + 9 - 30 \cdot (-\frac{1}{2}) = 34 + 15 = 49 $$ $$ c = \sqrt{49} = 7 \text{ см} $$

Тогда S₃ = 7 см * 11.2 см = 78.4 см²

4. Найдём площадь полной поверхности призмы:

Площадь полной поверхности призмы равна сумме площадей всех граней (двух оснований и трёх боковых граней):

$$ S_{\text{полн}} = 2S + S_1 + S_2 + S_3 $$ $$ S_{\text{полн}} = \frac{15\sqrt{3}}{2} + 56 + 33.6 + 78.4 = \frac{15\sqrt{3}}{2} + 168 \approx 12.99 + 168 = 180.99 \text{ см}^2 $$

Округлим до десятых: 181.0 см²