Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетом 3 см и прилежащим к нему углом 60°. Диагональ боковой грани, содержащей гипотенузу треугольника, равна 10 см. Найдите объем призмы.

Дано:

Прямая призма.

Основание: прямоугольный треугольник.

Катет \( a = 3 \) см.

Угол \( \alpha = 60^{\circ} \).

Диагональ боковой грани \( d = 10 \) см.

Найти:

Объем призмы \( V \).

Решение:

1. Найдем второй катет прямоугольного треугольника \( b \) из условия, что \( \text{tg } \alpha = \frac{a}{b} \).
2. \( \text{tg } 60^{\circ} = \sqrt{3} \)
3. \( b = \frac{a}{\text{tg } \alpha} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \) см.
4. Найдем гипотенузу \( c \) по теореме Пифагора: \( c^2 = a^2 + b^2 = 3^2 + (\sqrt{3})^2 = 9 + 3 = 12 \)
5. \( c = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \) см.
6. Высота призмы \( h \) равна диагонали боковой грани, которая содержит гипотенузу, т.е. \( h = d = 10 \) см.
7. Площадь основания \( S_{осн} \) равна площади прямоугольного треугольника: \( S_{осн} = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \) см².
8. Объем призмы \( V = S_{осн} \cdot h = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 10 = 15\sqrt{3} \) см³.

Ответ: \( 15\sqrt{3} \) см³.