432. Основание равнобедренного треугольника равно 16 см. Найдите периметр треугольника, если его биссектриса, проведенная к осно- ванию, равна 6 см.

Ответ: Периметр треугольника равен 48 см.

Решение:

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой. Поэтому она делит основание пополам.

Обозначим:

• Основание: \( a = 16 \) см
• Биссектриса: \( h = 6 \) см
• Боковая сторона: \( b \) см

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный биссектрисой, половиной основания и боковой стороной. По теореме Пифагора:

\[b^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2\]\[b^2 = 6^2 + (\frac{16}{2})^2\]\[b^2 = 36 + 8^2\]\[b^2 = 36 + 64\]\[b^2 = 100\]\[b = \sqrt{100} = 10 \text{ см}\]

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны, поэтому периметр \( P \) равен:

\[P = a + 2b\]\[P = 16 + 2 \cdot 10\]\[P = 16 + 20 = 36 \text{ см}\]

Периметр треугольника равен 36 см.

Ответ: Периметр треугольника равен 36 см.