20. Основание трапеции равно 7, а два угла при нём равны 45°. Найдите другое основание этой трапеции, если её площадь равна 11,25. ( рис.)

Для решения задачи необходимо воспользоваться формулой площади трапеции и свойствами прямоугольного треугольника, образованного высотой трапеции и боковой стороной.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$$

Где:
$$S$$ - площадь трапеции, $$S = 11.25$$;
$$a$$ и $$b$$ - основания трапеции, $$a = 7$$;
$$h$$ - высота трапеции.

Так как углы при основании равны 45°, высота, опущенная из вершины верхнего основания, образует прямоугольный треугольник, в котором высота равна отрезку большего основания, отсеченному высотой. Обозначим этот отрезок за $$x$$. Тогда:

$$h = x$$

Большее основание можно выразить как:

$$b = a + 2x = 7 + 2x$$

Подставим известные значения в формулу площади:

$$11.25 = \frac{7 + (7+2x)}{2} \cdot x$$

Решим уравнение относительно $$x$$:

$$11.25 = \frac{14 + 2x}{2} \cdot x$$

$$11.25 = (7 + x) \cdot x$$

$$11.25 = 7x + x^2$$

$$x^2 + 7x - 11.25 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

$$x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11.25)}}{2 \cdot 1}$$

$$x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 45}}{2}$$

$$x = \frac{-7 \pm \sqrt{94}}{2}$$

$$x = \frac{-7 \pm \sqrt{49+45}}{2} = \frac{-7 \pm \sqrt{94}}{2}$$

Так как длина не может быть отрицательной, то:

$$x = \frac{-7 + \sqrt{94}}{2} ≈ \frac{-7 + 9.695}{2} ≈ 1.3475$$

Теперь найдем большее основание $$b$$:

$$b = 7 + 2x = 7 + 2 \cdot 1.3475 = 7 + 2.695 ≈ 9.695$$

Округлим до сотых:

$$b ≈ 9.70$$

Ответ: 9.70