Основание высоты треугольника спроецировали на его стороны, соединили проекции, и получили отрезок a. Аналогично получили отрезки b и c. Стороны треугольника равны: AB = 10, BC = 11, AC = 12. Найдите отношение отрезков: a : b : c.

Обозначим через h высоту, а через A — угол при вершине, из которой она проведена. В прямоугольных треугольниках, образованных высотой и её проекциями, длины проекций равны h sin B и h sin C. По теореме косинусов для отрезка между проекциями получаем:

\(a^2=h^2(\sin^2 B+\sin^2 C-2\sin B\sin C\cos A)=h^2\sin^2 A\), поэтому \(a=h\sin A\).

Площадь треугольника можно выразить как \(S=\frac12 ah=\frac12 bc\sin A\), откуда \(h=\frac{bc\sin A}{a}\). Следовательно, длина полученного отрезка равна \(a=\frac{bc\sin^2 A}{a}\). По теореме синусов \(\sin A=\frac{a}{2R}\), поэтому длина отрезка равна \(\frac{abc}{4R^2}\). Это выражение одинаково для высоты из любой вершины, значит все три отрезка равны.

Ответ: \(a:b:c=1:1:1\).